$$$f{\left(x \right)} = 3 x^{4} + x^{3} - 13 x^{2} - 2 x + 9$$$ için olası ve bulunan rasyonel kökler

$$$3 x^{4} + x^{3} - 13 x^{2} - 2 x + 9 = 0$$$ polinomunun rasyonel köklerini bulun.

Tüm katsayılar tamsayı olduğundan, rasyonel kökler teoremini uygulayabiliriz.

Son katsayı (sabit terimin katsayısı) $$$9$$$ değerine eşittir.

Onun çarpanlarını (artı ve eksi işaretleriyle) bulun: $$$\pm 1$$$, $$$\pm 3$$$, $$$\pm 9$$$.

Bunlar $$$p$$$ için olası değerlerdir.

Baş katsayı (en yüksek dereceli terimin katsayısı) $$$3$$$.

Çarpanlarını bulun (artı ve eksi işaretleriyle): $$$\pm 1$$$, $$$\pm 3$$$.

Bunlar $$$q$$$ için olası değerlerdir.

$$$\frac{p}{q}$$$ için tüm olası değerleri bulun: $$$\pm \frac{1}{1}$$$, $$$\pm \frac{1}{3}$$$, $$$\pm \frac{3}{1}$$$, $$$\pm \frac{3}{3}$$$, $$$\pm \frac{9}{1}$$$, $$$\pm \frac{9}{3}$$$.

Sadeleştirin ve varsa yinelenenleri kaldırın.

Bunlar olası rasyonel köklerdir: $$$\pm 1$$$, $$$\pm \frac{1}{3}$$$, $$$\pm 3$$$, $$$\pm 9$$$.

Ardından, olası kökleri kontrol edin: $$$a$$$, $$$P{\left(x \right)}$$$ polinomunun bir kökü ise, $$$P{\left(x \right)}$$$'nin $$$x - a$$$'a bölümünden kalan $$$0$$$ olmalıdır (Kalan Teoremi'ne göre bu, $$$P{\left(a \right)} = 0$$$ anlamına gelir).

• $$$1$$$'i kontrol et: $$$3 x^{4} + x^{3} - 13 x^{2} - 2 x + 9$$$'yi $$$x - 1$$$ ile böl.

  $$$P{\left(1 \right)} = -2$$$; dolayısıyla, kalan $$$-2$$$’dir.

• $$$-1$$$'i kontrol et: $$$3 x^{4} + x^{3} - 13 x^{2} - 2 x + 9$$$'yi $$$x - \left(-1\right) = x + 1$$$ ile böl.

  $$$P{\left(-1 \right)} = 0$$$; dolayısıyla, kalan $$$0$$$’dir.

  Dolayısıyla, $$$-1$$$ bir köktür.

• $$$\frac{1}{3}$$$'i kontrol et: $$$3 x^{4} + x^{3} - 13 x^{2} - 2 x + 9$$$'yi $$$x - \frac{1}{3}$$$ ile böl.

  $$$P{\left(\frac{1}{3} \right)} = \frac{188}{27}$$$; dolayısıyla, kalan $$$\frac{188}{27}$$$’dir.

• $$$- \frac{1}{3}$$$'i kontrol et: $$$3 x^{4} + x^{3} - 13 x^{2} - 2 x + 9$$$'yi $$$x - \left(- \frac{1}{3}\right) = x + \frac{1}{3}$$$ ile böl.

  $$$P{\left(- \frac{1}{3} \right)} = \frac{74}{9}$$$; dolayısıyla, kalan $$$\frac{74}{9}$$$’dir.

• $$$3$$$'i kontrol et: $$$3 x^{4} + x^{3} - 13 x^{2} - 2 x + 9$$$'yi $$$x - 3$$$ ile böl.

  $$$P{\left(3 \right)} = 156$$$; dolayısıyla, kalan $$$156$$$’dir.

• $$$-3$$$'i kontrol et: $$$3 x^{4} + x^{3} - 13 x^{2} - 2 x + 9$$$'yi $$$x - \left(-3\right) = x + 3$$$ ile böl.

  $$$P{\left(-3 \right)} = 114$$$; dolayısıyla, kalan $$$114$$$’dir.

• $$$9$$$'i kontrol et: $$$3 x^{4} + x^{3} - 13 x^{2} - 2 x + 9$$$'yi $$$x - 9$$$ ile böl.

  $$$P{\left(9 \right)} = 19350$$$; dolayısıyla, kalan $$$19350$$$’dir.

• $$$-9$$$'i kontrol et: $$$3 x^{4} + x^{3} - 13 x^{2} - 2 x + 9$$$'yi $$$x - \left(-9\right) = x + 9$$$ ile böl.

  $$$P{\left(-9 \right)} = 17928$$$; dolayısıyla, kalan $$$17928$$$’dir.

Olası rasyonel kökler: $$$\pm 1$$$, $$$\pm \frac{1}{3}$$$, $$$\pm 3$$$, $$$\pm 9$$$A.

Gerçek rasyonel kök: $$$-1$$$A.