|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Mogelijke en daadwerkelijke rationele nulpunten van $$$f{\left(x \right)} = 3 x^{4} + x^{3} - 13 x^{2} - 2 x + 9$$$
Uw invoer
Vind de rationele nulpunten van $$$3 x^{4} + x^{3} - 13 x^{2} - 2 x + 9 = 0$$$.
Oplossing
Aangezien alle coëfficiënten gehele getallen zijn, kunnen we de stelling van de rationale wortels toepassen.
De laatste coëfficiënt (de coëfficiënt van de constante term) is $$$9$$$.
Vind de factoren ervan (met het plusteken en het minteken): $$$\pm 1$$$, $$$\pm 3$$$, $$$\pm 9$$$.
Dit zijn de mogelijke waarden voor $$$p$$$.
De leidende coëfficiënt (de coëfficiënt van de term met de hoogste graad) is $$$3$$$.
Vind de factoren (met het plus- en minteken): $$$\pm 1$$$, $$$\pm 3$$$.
Dit zijn de mogelijke waarden voor $$$q$$$.
Bepaal alle mogelijke waarden van $$$\frac{p}{q}$$$: $$$\pm \frac{1}{1}$$$, $$$\pm \frac{1}{3}$$$, $$$\pm \frac{3}{1}$$$, $$$\pm \frac{3}{3}$$$, $$$\pm \frac{9}{1}$$$, $$$\pm \frac{9}{3}$$$.
Vereenvoudig en verwijder de duplicaten (indien aanwezig).
Dit zijn de mogelijke rationele nulpunten: $$$\pm 1$$$, $$$\pm \frac{1}{3}$$$, $$$\pm 3$$$, $$$\pm 9$$$.
Controleer vervolgens de mogelijke wortels: als $$$a$$$ een wortel van de veelterm $$$P{\left(x \right)}$$$ is, moet de rest bij de deling van $$$P{\left(x \right)}$$$ door $$$x - a$$$ gelijk zijn aan $$$0$$$ (volgens de reststelling betekent dit dat $$$P{\left(a \right)} = 0$$$).
Controleer $$$1$$$: deel $$$3 x^{4} + x^{3} - 13 x^{2} - 2 x + 9$$$ door $$$x - 1$$$.
$$$P{\left(1 \right)} = -2$$$; dus is de rest $$$-2$$$.
Controleer $$$-1$$$: deel $$$3 x^{4} + x^{3} - 13 x^{2} - 2 x + 9$$$ door $$$x - \left(-1\right) = x + 1$$$.
$$$P{\left(-1 \right)} = 0$$$; dus is de rest $$$0$$$.
Dus is $$$-1$$$ een wortel.
Controleer $$$\frac{1}{3}$$$: deel $$$3 x^{4} + x^{3} - 13 x^{2} - 2 x + 9$$$ door $$$x - \frac{1}{3}$$$.
$$$P{\left(\frac{1}{3} \right)} = \frac{188}{27}$$$; dus is de rest $$$\frac{188}{27}$$$.
Controleer $$$- \frac{1}{3}$$$: deel $$$3 x^{4} + x^{3} - 13 x^{2} - 2 x + 9$$$ door $$$x - \left(- \frac{1}{3}\right) = x + \frac{1}{3}$$$.
$$$P{\left(- \frac{1}{3} \right)} = \frac{74}{9}$$$; dus is de rest $$$\frac{74}{9}$$$.
Controleer $$$3$$$: deel $$$3 x^{4} + x^{3} - 13 x^{2} - 2 x + 9$$$ door $$$x - 3$$$.
$$$P{\left(3 \right)} = 156$$$; dus is de rest $$$156$$$.
Controleer $$$-3$$$: deel $$$3 x^{4} + x^{3} - 13 x^{2} - 2 x + 9$$$ door $$$x - \left(-3\right) = x + 3$$$.
$$$P{\left(-3 \right)} = 114$$$; dus is de rest $$$114$$$.
Controleer $$$9$$$: deel $$$3 x^{4} + x^{3} - 13 x^{2} - 2 x + 9$$$ door $$$x - 9$$$.
$$$P{\left(9 \right)} = 19350$$$; dus is de rest $$$19350$$$.
Controleer $$$-9$$$: deel $$$3 x^{4} + x^{3} - 13 x^{2} - 2 x + 9$$$ door $$$x - \left(-9\right) = x + 9$$$.
$$$P{\left(-9 \right)} = 17928$$$; dus is de rest $$$17928$$$.
Antwoord
Mogelijke rationele wortels: $$$\pm 1$$$, $$$\pm \frac{1}{3}$$$, $$$\pm 3$$$, $$$\pm 9$$$A.
Daadwerkelijke rationele wortel: $$$-1$$$A.