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$$$f{\left(x \right)} = 3 x^{4} + x^{3} - 13 x^{2} - 2 x + 9$$$ の可能な有理根と実際の有理根
入力内容
$$$3 x^{4} + x^{3} - 13 x^{2} - 2 x + 9 = 0$$$ の有理根を求めよ。
解答
すべての係数が整数であるため、有理根の定理を適用できます。
トレーリング係数（定数項の係数）は $$$9$$$ です。
その因数（正負の符号も含めて）を求めよ: $$$\pm 1$$$, $$$\pm 3$$$, $$$\pm 9$$$.
これらは$$$p$$$の取り得る値です。
首項係数（最高次の項の係数）は $$$3$$$ です。
その因数（正負の符号付き）を求めよ: $$$\pm 1$$$, $$$\pm 3$$$。
$$$q$$$の取り得る値は次のとおりです。
$$$\frac{p}{q}$$$ の取り得るすべての値を求めよ: $$$\pm \frac{1}{1}$$$, $$$\pm \frac{1}{3}$$$, $$$\pm \frac{3}{1}$$$, $$$\pm \frac{3}{3}$$$, $$$\pm \frac{9}{1}$$$, $$$\pm \frac{9}{3}$$$.
簡略化し、（もしあれば）重複を削除する。
可能な有理根は次のとおりです: $$$\pm 1$$$, $$$\pm \frac{1}{3}$$$, $$$\pm 3$$$, $$$\pm 9$$$
次に、可能な根を確認します：$$$a$$$ が多項式 $$$P{\left(x \right)}$$$ の根であるなら、$$$P{\left(x \right)}$$$ を $$$x - a$$$ で割ったときの余りは $$$0$$$ になるはずです（剰余定理 によれば、これは $$$P{\left(a \right)} = 0$$$ を意味します）。
$$$1$$$ を検算：$$$3 x^{4} + x^{3} - 13 x^{2} - 2 x + 9$$$ を $$$x - 1$$$ で割る。
$$$P{\left(1 \right)} = -2$$$; したがって、余りは$$$-2$$$です。
$$$-1$$$ を検算：$$$3 x^{4} + x^{3} - 13 x^{2} - 2 x + 9$$$ を $$$x - \left(-1\right) = x + 1$$$ で割る。
$$$P{\left(-1 \right)} = 0$$$; したがって、余りは$$$0$$$です。
したがって、$$$-1$$$ は根である。
$$$\frac{1}{3}$$$ を検算：$$$3 x^{4} + x^{3} - 13 x^{2} - 2 x + 9$$$ を $$$x - \frac{1}{3}$$$ で割る。
$$$P{\left(\frac{1}{3} \right)} = \frac{188}{27}$$$; したがって、余りは$$$\frac{188}{27}$$$です。
$$$- \frac{1}{3}$$$ を検算：$$$3 x^{4} + x^{3} - 13 x^{2} - 2 x + 9$$$ を $$$x - \left(- \frac{1}{3}\right) = x + \frac{1}{3}$$$ で割る。
$$$P{\left(- \frac{1}{3} \right)} = \frac{74}{9}$$$; したがって、余りは$$$\frac{74}{9}$$$です。
$$$3$$$ を検算：$$$3 x^{4} + x^{3} - 13 x^{2} - 2 x + 9$$$ を $$$x - 3$$$ で割る。
$$$P{\left(3 \right)} = 156$$$; したがって、余りは$$$156$$$です。
$$$-3$$$ を検算：$$$3 x^{4} + x^{3} - 13 x^{2} - 2 x + 9$$$ を $$$x - \left(-3\right) = x + 3$$$ で割る。
$$$P{\left(-3 \right)} = 114$$$; したがって、余りは$$$114$$$です。
$$$9$$$ を検算：$$$3 x^{4} + x^{3} - 13 x^{2} - 2 x + 9$$$ を $$$x - 9$$$ で割る。
$$$P{\left(9 \right)} = 19350$$$; したがって、余りは$$$19350$$$です。
$$$-9$$$ を検算：$$$3 x^{4} + x^{3} - 13 x^{2} - 2 x + 9$$$ を $$$x - \left(-9\right) = x + 9$$$ で割る。
$$$P{\left(-9 \right)} = 17928$$$; したがって、余りは$$$17928$$$です。
解答
可能な有理根: $$$\pm 1$$$, $$$\pm \frac{1}{3}$$$, $$$\pm 3$$$, $$$\pm 9$$$A.
実際の有理根: $$$-1$$$A.