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Radici razionali possibili ed effettive di $$$f{\left(x \right)} = 3 x^{4} + x^{3} - 13 x^{2} - 2 x + 9$$$
Il tuo input
Trova gli zeri razionali di $$$3 x^{4} + x^{3} - 13 x^{2} - 2 x + 9 = 0$$$.
Soluzione
Poiché tutti i coefficienti sono interi, possiamo applicare il teorema delle radici razionali.
L'ultimo coefficiente (il coefficiente del termine costante) è $$$9$$$.
Trova i suoi fattori (con il segno più e il segno meno): $$$\pm 1$$$, $$$\pm 3$$$, $$$\pm 9$$$.
Questi sono i possibili valori di $$$p$$$.
Il coefficiente principale (il coefficiente del termine di grado massimo) è $$$3$$$.
Trova i suoi fattori (con il segno più e il segno meno): $$$\pm 1$$$, $$$\pm 3$$$.
Questi sono i possibili valori di $$$q$$$.
Trova tutti i valori possibili di $$$\frac{p}{q}$$$: $$$\pm \frac{1}{1}$$$, $$$\pm \frac{1}{3}$$$, $$$\pm \frac{3}{1}$$$, $$$\pm \frac{3}{3}$$$, $$$\pm \frac{9}{1}$$$, $$$\pm \frac{9}{3}$$$.
Semplifica e rimuovi i duplicati (se presenti).
Queste sono le possibili radici razionali: $$$\pm 1$$$, $$$\pm \frac{1}{3}$$$, $$$\pm 3$$$, $$$\pm 9$$$.
Successivamente, verifica le radici possibili: se $$$a$$$ è una radice del polinomio $$$P{\left(x \right)}$$$, il resto della divisione di $$$P{\left(x \right)}$$$ per $$$x - a$$$ dovrebbe essere uguale a $$$0$$$ (secondo il teorema del resto, ciò significa che $$$P{\left(a \right)} = 0$$$).
Verifica $$$1$$$: dividi $$$3 x^{4} + x^{3} - 13 x^{2} - 2 x + 9$$$ per $$$x - 1$$$.
$$$P{\left(1 \right)} = -2$$$; pertanto, il resto è $$$-2$$$.
Verifica $$$-1$$$: dividi $$$3 x^{4} + x^{3} - 13 x^{2} - 2 x + 9$$$ per $$$x - \left(-1\right) = x + 1$$$.
$$$P{\left(-1 \right)} = 0$$$; pertanto, il resto è $$$0$$$.
Quindi, $$$-1$$$ è una radice.
Verifica $$$\frac{1}{3}$$$: dividi $$$3 x^{4} + x^{3} - 13 x^{2} - 2 x + 9$$$ per $$$x - \frac{1}{3}$$$.
$$$P{\left(\frac{1}{3} \right)} = \frac{188}{27}$$$; pertanto, il resto è $$$\frac{188}{27}$$$.
Verifica $$$- \frac{1}{3}$$$: dividi $$$3 x^{4} + x^{3} - 13 x^{2} - 2 x + 9$$$ per $$$x - \left(- \frac{1}{3}\right) = x + \frac{1}{3}$$$.
$$$P{\left(- \frac{1}{3} \right)} = \frac{74}{9}$$$; pertanto, il resto è $$$\frac{74}{9}$$$.
Verifica $$$3$$$: dividi $$$3 x^{4} + x^{3} - 13 x^{2} - 2 x + 9$$$ per $$$x - 3$$$.
$$$P{\left(3 \right)} = 156$$$; pertanto, il resto è $$$156$$$.
Verifica $$$-3$$$: dividi $$$3 x^{4} + x^{3} - 13 x^{2} - 2 x + 9$$$ per $$$x - \left(-3\right) = x + 3$$$.
$$$P{\left(-3 \right)} = 114$$$; pertanto, il resto è $$$114$$$.
Verifica $$$9$$$: dividi $$$3 x^{4} + x^{3} - 13 x^{2} - 2 x + 9$$$ per $$$x - 9$$$.
$$$P{\left(9 \right)} = 19350$$$; pertanto, il resto è $$$19350$$$.
Verifica $$$-9$$$: dividi $$$3 x^{4} + x^{3} - 13 x^{2} - 2 x + 9$$$ per $$$x - \left(-9\right) = x + 9$$$.
$$$P{\left(-9 \right)} = 17928$$$; pertanto, il resto è $$$17928$$$.
Risposta
Possibili radici razionali: $$$\pm 1$$$, $$$\pm \frac{1}{3}$$$, $$$\pm 3$$$, $$$\pm 9$$$A.
Radice razionale effettiva: $$$-1$$$A.