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Racines rationnelles possibles et effectives de $$$f{\left(x \right)} = 3 x^{4} + x^{3} - 13 x^{2} - 2 x + 9$$$
Votre saisie
Trouvez les racines rationnelles de $$$3 x^{4} + x^{3} - 13 x^{2} - 2 x + 9 = 0$$$.
Solution
Puisque tous les coefficients sont des entiers, nous pouvons appliquer le théorème des racines rationnelles.
Le coefficient indépendant (le coefficient du terme constant) est $$$9$$$.
Trouvez ses diviseurs (avec le signe plus et le signe moins) : $$$\pm 1$$$, $$$\pm 3$$$, $$$\pm 9$$$.
Voici les valeurs possibles de $$$p$$$.
Le coefficient dominant (le coefficient du terme de plus haut degré) est $$$3$$$.
Trouvez ses facteurs (avec les signes plus et moins) : $$$\pm 1$$$, $$$\pm 3$$$.
Voici les valeurs possibles de $$$q$$$.
Trouvez toutes les valeurs possibles de $$$\frac{p}{q}$$$ : $$$\pm \frac{1}{1}$$$, $$$\pm \frac{1}{3}$$$, $$$\pm \frac{3}{1}$$$, $$$\pm \frac{3}{3}$$$, $$$\pm \frac{9}{1}$$$, $$$\pm \frac{9}{3}$$$.
Simplifiez et supprimez les doublons (le cas échéant).
Voici les racines rationnelles possibles : $$$\pm 1$$$, $$$\pm \frac{1}{3}$$$, $$$\pm 3$$$, $$$\pm 9$$$.
Ensuite, vérifiez les racines possibles : si $$$a$$$ est une racine du polynôme $$$P{\left(x \right)}$$$, le reste de la division de $$$P{\left(x \right)}$$$ par $$$x - a$$$ doit être égal à $$$0$$$ (d’après le théorème du reste, cela signifie que $$$P{\left(a \right)} = 0$$$).
Vérifiez $$$1$$$ : divisez $$$3 x^{4} + x^{3} - 13 x^{2} - 2 x + 9$$$ par $$$x - 1$$$.
$$$P{\left(1 \right)} = -2$$$ ; ainsi, le reste est $$$-2$$$.
Vérifiez $$$-1$$$ : divisez $$$3 x^{4} + x^{3} - 13 x^{2} - 2 x + 9$$$ par $$$x - \left(-1\right) = x + 1$$$.
$$$P{\left(-1 \right)} = 0$$$ ; ainsi, le reste est $$$0$$$.
Par conséquent, $$$-1$$$ est une racine.
Vérifiez $$$\frac{1}{3}$$$ : divisez $$$3 x^{4} + x^{3} - 13 x^{2} - 2 x + 9$$$ par $$$x - \frac{1}{3}$$$.
$$$P{\left(\frac{1}{3} \right)} = \frac{188}{27}$$$ ; ainsi, le reste est $$$\frac{188}{27}$$$.
Vérifiez $$$- \frac{1}{3}$$$ : divisez $$$3 x^{4} + x^{3} - 13 x^{2} - 2 x + 9$$$ par $$$x - \left(- \frac{1}{3}\right) = x + \frac{1}{3}$$$.
$$$P{\left(- \frac{1}{3} \right)} = \frac{74}{9}$$$ ; ainsi, le reste est $$$\frac{74}{9}$$$.
Vérifiez $$$3$$$ : divisez $$$3 x^{4} + x^{3} - 13 x^{2} - 2 x + 9$$$ par $$$x - 3$$$.
$$$P{\left(3 \right)} = 156$$$ ; ainsi, le reste est $$$156$$$.
Vérifiez $$$-3$$$ : divisez $$$3 x^{4} + x^{3} - 13 x^{2} - 2 x + 9$$$ par $$$x - \left(-3\right) = x + 3$$$.
$$$P{\left(-3 \right)} = 114$$$ ; ainsi, le reste est $$$114$$$.
Vérifiez $$$9$$$ : divisez $$$3 x^{4} + x^{3} - 13 x^{2} - 2 x + 9$$$ par $$$x - 9$$$.
$$$P{\left(9 \right)} = 19350$$$ ; ainsi, le reste est $$$19350$$$.
Vérifiez $$$-9$$$ : divisez $$$3 x^{4} + x^{3} - 13 x^{2} - 2 x + 9$$$ par $$$x - \left(-9\right) = x + 9$$$.
$$$P{\left(-9 \right)} = 17928$$$ ; ainsi, le reste est $$$17928$$$.
Réponse
Racines rationnelles possibles : $$$\pm 1$$$, $$$\pm \frac{1}{3}$$$, $$$\pm 3$$$, $$$\pm 9$$$A.
Racine rationnelle effective : $$$-1$$$A.