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Raízes racionais possíveis e existentes de $$$f{\left(x \right)} = 3 x^{4} + x^{3} - 13 x^{2} - 2 x + 9$$$
Sua entrada
Encontre as raízes racionais de $$$3 x^{4} + x^{3} - 13 x^{2} - 2 x + 9 = 0$$$.
Solução
Como todos os coeficientes são inteiros, podemos aplicar o teorema das raízes racionais.
O coeficiente final (o coeficiente do termo constante) é $$$9$$$.
Encontre seus factors (com os sinais de mais e de menos): $$$\pm 1$$$, $$$\pm 3$$$, $$$\pm 9$$$.
Estes são os valores possíveis de $$$p$$$.
O coeficiente líder (o coeficiente do termo de maior grau) é $$$3$$$.
Encontre os seus fatores (com o sinal de mais e o sinal de menos): $$$\pm 1$$$, $$$\pm 3$$$.
Estes são os valores possíveis de $$$q$$$.
Encontre todos os valores possíveis de $$$\frac{p}{q}$$$: $$$\pm \frac{1}{1}$$$, $$$\pm \frac{1}{3}$$$, $$$\pm \frac{3}{1}$$$, $$$\pm \frac{3}{3}$$$, $$$\pm \frac{9}{1}$$$, $$$\pm \frac{9}{3}$$$.
Simplifique e remova os elementos repetidos (se houver).
Estas são as possíveis raízes racionais: $$$\pm 1$$$, $$$\pm \frac{1}{3}$$$, $$$\pm 3$$$, $$$\pm 9$$$.
Em seguida, verifique as possíveis raízes: se $$$a$$$ for uma raiz do polinômio $$$P{\left(x \right)}$$$, o resto da divisão de $$$P{\left(x \right)}$$$ por $$$x - a$$$ deve ser igual a $$$0$$$ (de acordo com o teorema do resto, isso significa que $$$P{\left(a \right)} = 0$$$).
Verifique $$$1$$$: divida $$$3 x^{4} + x^{3} - 13 x^{2} - 2 x + 9$$$ por $$$x - 1$$$.
$$$P{\left(1 \right)} = -2$$$; portanto, o resto é $$$-2$$$.
Verifique $$$-1$$$: divida $$$3 x^{4} + x^{3} - 13 x^{2} - 2 x + 9$$$ por $$$x - \left(-1\right) = x + 1$$$.
$$$P{\left(-1 \right)} = 0$$$; portanto, o resto é $$$0$$$.
Portanto, $$$-1$$$ é uma raiz.
Verifique $$$\frac{1}{3}$$$: divida $$$3 x^{4} + x^{3} - 13 x^{2} - 2 x + 9$$$ por $$$x - \frac{1}{3}$$$.
$$$P{\left(\frac{1}{3} \right)} = \frac{188}{27}$$$; portanto, o resto é $$$\frac{188}{27}$$$.
Verifique $$$- \frac{1}{3}$$$: divida $$$3 x^{4} + x^{3} - 13 x^{2} - 2 x + 9$$$ por $$$x - \left(- \frac{1}{3}\right) = x + \frac{1}{3}$$$.
$$$P{\left(- \frac{1}{3} \right)} = \frac{74}{9}$$$; portanto, o resto é $$$\frac{74}{9}$$$.
Verifique $$$3$$$: divida $$$3 x^{4} + x^{3} - 13 x^{2} - 2 x + 9$$$ por $$$x - 3$$$.
$$$P{\left(3 \right)} = 156$$$; portanto, o resto é $$$156$$$.
Verifique $$$-3$$$: divida $$$3 x^{4} + x^{3} - 13 x^{2} - 2 x + 9$$$ por $$$x - \left(-3\right) = x + 3$$$.
$$$P{\left(-3 \right)} = 114$$$; portanto, o resto é $$$114$$$.
Verifique $$$9$$$: divida $$$3 x^{4} + x^{3} - 13 x^{2} - 2 x + 9$$$ por $$$x - 9$$$.
$$$P{\left(9 \right)} = 19350$$$; portanto, o resto é $$$19350$$$.
Verifique $$$-9$$$: divida $$$3 x^{4} + x^{3} - 13 x^{2} - 2 x + 9$$$ por $$$x - \left(-9\right) = x + 9$$$.
$$$P{\left(-9 \right)} = 17928$$$; portanto, o resto é $$$17928$$$.
Resposta
Possíveis raízes racionais: $$$\pm 1$$$, $$$\pm \frac{1}{3}$$$, $$$\pm 3$$$, $$$\pm 9$$$A.
Raiz racional efetiva: $$$-1$$$A.