|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Möjliga och faktiska rationella rötter till $$$f{\left(x \right)} = 3 x^{4} + x^{3} - 13 x^{2} - 2 x + 9$$$
Din inmatning
Hitta de rationella rötterna till $$$3 x^{4} + x^{3} - 13 x^{2} - 2 x + 9 = 0$$$.
Lösning
Eftersom alla koefficienter är heltal kan vi tillämpa satsen om rationella rötter.
Den sista koefficienten (koefficienten till konstanttermen) är $$$9$$$.
Bestäm dess faktorer (med både plus- och minustecken): $$$\pm 1$$$, $$$\pm 3$$$, $$$\pm 9$$$.
Detta är de möjliga värdena för $$$p$$$.
Den ledande koefficienten (koefficienten för termen av högst grad) är $$$3$$$.
Hitta dess faktorer (med plustecknet och minustecknet): $$$\pm 1$$$, $$$\pm 3$$$.
Detta är de möjliga värdena för $$$q$$$.
Bestäm alla möjliga värden för $$$\frac{p}{q}$$$: $$$\pm \frac{1}{1}$$$, $$$\pm \frac{1}{3}$$$, $$$\pm \frac{3}{1}$$$, $$$\pm \frac{3}{3}$$$, $$$\pm \frac{9}{1}$$$, $$$\pm \frac{9}{3}$$$.
Förenkla och ta bort dubbletter (om några).
Här är de möjliga rationella rötterna: $$$\pm 1$$$, $$$\pm \frac{1}{3}$$$, $$$\pm 3$$$, $$$\pm 9$$$.
Kontrollera därefter de möjliga rötterna: om $$$a$$$ är en rot till polynomet $$$P{\left(x \right)}$$$, ska resten vid divisionen av $$$P{\left(x \right)}$$$ med $$$x - a$$$ vara lika med $$$0$$$ (enligt restteoremet innebär detta att $$$P{\left(a \right)} = 0$$$).
Kontrollera $$$1$$$: dividera $$$3 x^{4} + x^{3} - 13 x^{2} - 2 x + 9$$$ med $$$x - 1$$$.
$$$P{\left(1 \right)} = -2$$$; således är resten $$$-2$$$.
Kontrollera $$$-1$$$: dividera $$$3 x^{4} + x^{3} - 13 x^{2} - 2 x + 9$$$ med $$$x - \left(-1\right) = x + 1$$$.
$$$P{\left(-1 \right)} = 0$$$; således är resten $$$0$$$.
Alltså är $$$-1$$$ en rot.
Kontrollera $$$\frac{1}{3}$$$: dividera $$$3 x^{4} + x^{3} - 13 x^{2} - 2 x + 9$$$ med $$$x - \frac{1}{3}$$$.
$$$P{\left(\frac{1}{3} \right)} = \frac{188}{27}$$$; således är resten $$$\frac{188}{27}$$$.
Kontrollera $$$- \frac{1}{3}$$$: dividera $$$3 x^{4} + x^{3} - 13 x^{2} - 2 x + 9$$$ med $$$x - \left(- \frac{1}{3}\right) = x + \frac{1}{3}$$$.
$$$P{\left(- \frac{1}{3} \right)} = \frac{74}{9}$$$; således är resten $$$\frac{74}{9}$$$.
Kontrollera $$$3$$$: dividera $$$3 x^{4} + x^{3} - 13 x^{2} - 2 x + 9$$$ med $$$x - 3$$$.
$$$P{\left(3 \right)} = 156$$$; således är resten $$$156$$$.
Kontrollera $$$-3$$$: dividera $$$3 x^{4} + x^{3} - 13 x^{2} - 2 x + 9$$$ med $$$x - \left(-3\right) = x + 3$$$.
$$$P{\left(-3 \right)} = 114$$$; således är resten $$$114$$$.
Kontrollera $$$9$$$: dividera $$$3 x^{4} + x^{3} - 13 x^{2} - 2 x + 9$$$ med $$$x - 9$$$.
$$$P{\left(9 \right)} = 19350$$$; således är resten $$$19350$$$.
Kontrollera $$$-9$$$: dividera $$$3 x^{4} + x^{3} - 13 x^{2} - 2 x + 9$$$ med $$$x - \left(-9\right) = x + 9$$$.
$$$P{\left(-9 \right)} = 17928$$$; således är resten $$$17928$$$.
Svar
Möjliga rationella rötter: $$$\pm 1$$$, $$$\pm \frac{1}{3}$$$, $$$\pm 3$$$, $$$\pm 9$$$A.
Faktisk rationell rot: $$$-1$$$A.