|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Mahdolliset ja toteutuvat rationaaliset juuret $$$f{\left(x \right)} = 3 x^{4} + x^{3} - 13 x^{2} - 2 x + 9$$$:lle
Syötteesi
Etsi polynomin $$$3 x^{4} + x^{3} - 13 x^{2} - 2 x + 9 = 0$$$ rationaaliset nollakohdat.
Ratkaisu
Koska kaikki kertoimet ovat kokonaislukuja, voimme soveltaa rationaalisten nollakohtien lausetta.
Viimeinen kerroin (vakiotermin kerroin) on $$$9$$$.
Etsi sen tekijät (plus- ja miinusmerkkiset): $$$\pm 1$$$, $$$\pm 3$$$, $$$\pm 9$$$.
Nämä ovat $$$p$$$:n mahdolliset arvot.
Johtokerroin (suurimman asteen termin kerroin) on $$$3$$$.
Määritä sen tekijät (sekä plus- että miinusmerkillä): $$$\pm 1$$$, $$$\pm 3$$$.
Nämä ovat mahdolliset arvot $$$q$$$:lle.
Määritä kaikki mahdolliset arvot lausekkeelle $$$\frac{p}{q}$$$: $$$\pm \frac{1}{1}$$$, $$$\pm \frac{1}{3}$$$, $$$\pm \frac{3}{1}$$$, $$$\pm \frac{3}{3}$$$, $$$\pm \frac{9}{1}$$$, $$$\pm \frac{9}{3}$$$.
Yksinkertaista ja poista mahdolliset toistot (jos sellaisia on).
Nämä ovat mahdolliset rationaaliset juuret: $$$\pm 1$$$, $$$\pm \frac{1}{3}$$$, $$$\pm 3$$$, $$$\pm 9$$$.
Seuraavaksi tarkista mahdolliset juuret: jos $$$a$$$ on polynomin $$$P{\left(x \right)}$$$ juuri, jaossa tekijällä $$$x - a$$$ jäännöksen tulee olla $$$0$$$ (jäännöslauseen mukaan tämä tarkoittaa, että $$$P{\left(a \right)} = 0$$$).
Tarkista $$$1$$$: jaa $$$3 x^{4} + x^{3} - 13 x^{2} - 2 x + 9$$$ tekijällä $$$x - 1$$$.
$$$P{\left(1 \right)} = -2$$$; joten jäännös on $$$-2$$$.
Tarkista $$$-1$$$: jaa $$$3 x^{4} + x^{3} - 13 x^{2} - 2 x + 9$$$ tekijällä $$$x - \left(-1\right) = x + 1$$$.
$$$P{\left(-1 \right)} = 0$$$; joten jäännös on $$$0$$$.
Siis $$$-1$$$ on yksi juuri.
Tarkista $$$\frac{1}{3}$$$: jaa $$$3 x^{4} + x^{3} - 13 x^{2} - 2 x + 9$$$ tekijällä $$$x - \frac{1}{3}$$$.
$$$P{\left(\frac{1}{3} \right)} = \frac{188}{27}$$$; joten jäännös on $$$\frac{188}{27}$$$.
Tarkista $$$- \frac{1}{3}$$$: jaa $$$3 x^{4} + x^{3} - 13 x^{2} - 2 x + 9$$$ tekijällä $$$x - \left(- \frac{1}{3}\right) = x + \frac{1}{3}$$$.
$$$P{\left(- \frac{1}{3} \right)} = \frac{74}{9}$$$; joten jäännös on $$$\frac{74}{9}$$$.
Tarkista $$$3$$$: jaa $$$3 x^{4} + x^{3} - 13 x^{2} - 2 x + 9$$$ tekijällä $$$x - 3$$$.
$$$P{\left(3 \right)} = 156$$$; joten jäännös on $$$156$$$.
Tarkista $$$-3$$$: jaa $$$3 x^{4} + x^{3} - 13 x^{2} - 2 x + 9$$$ tekijällä $$$x - \left(-3\right) = x + 3$$$.
$$$P{\left(-3 \right)} = 114$$$; joten jäännös on $$$114$$$.
Tarkista $$$9$$$: jaa $$$3 x^{4} + x^{3} - 13 x^{2} - 2 x + 9$$$ tekijällä $$$x - 9$$$.
$$$P{\left(9 \right)} = 19350$$$; joten jäännös on $$$19350$$$.
Tarkista $$$-9$$$: jaa $$$3 x^{4} + x^{3} - 13 x^{2} - 2 x + 9$$$ tekijällä $$$x - \left(-9\right) = x + 9$$$.
$$$P{\left(-9 \right)} = 17928$$$; joten jäännös on $$$17928$$$.
Vastaus
Mahdolliset rationaaliset juuret: $$$\pm 1$$$, $$$\pm \frac{1}{3}$$$, $$$\pm 3$$$, $$$\pm 9$$$A.
Todellinen rationaalijuuri: $$$-1$$$A.