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$$$f{\left(x \right)} = 3 x^{4} + x^{3} - 13 x^{2} - 2 x + 9$$$ 的可能有理根與實際有理根
您的輸入
求 $$$3 x^{4} + x^{3} - 13 x^{2} - 2 x + 9 = 0$$$ 的有理零點。
解答
由於所有係數皆為整數，我們可以應用有理根定理。
尾係數（常數項的係數）為 $$$9$$$。
求其因數（包含正號與負號）：$$$\pm 1$$$, $$$\pm 3$$$, $$$\pm 9$$$。
以下是 $$$p$$$ 的可能取值。
首項係數（最高次項的係數）為 $$$3$$$。
求其因數（含正負號）：$$$\pm 1$$$, $$$\pm 3$$$
這些是 $$$q$$$ 的可能取值。
求$$$\frac{p}{q}$$$的所有可能取值：$$$\pm \frac{1}{1}$$$, $$$\pm \frac{1}{3}$$$, $$$\pm \frac{3}{1}$$$, $$$\pm \frac{3}{3}$$$, $$$\pm \frac{9}{1}$$$, $$$\pm \frac{9}{3}$$$。
化簡並去除重複項（若有）。
這些是可能的有理根：$$$\pm 1$$$, $$$\pm \frac{1}{3}$$$, $$$\pm 3$$$, $$$\pm 9$$$。
接著，檢查可能的根：如果$$$a$$$是多項式$$$P{\left(x \right)}$$$的根，則將$$$P{\left(x \right)}$$$除以$$$x - a$$$的餘數應等於$$$0$$$（根據餘式定理，這意味著$$$P{\left(a \right)} = 0$$$）。
檢查 $$$1$$$：將 $$$3 x^{4} + x^{3} - 13 x^{2} - 2 x + 9$$$ 除以 $$$x - 1$$$。
$$$P{\left(1 \right)} = -2$$$；因此，餘數為 $$$-2$$$。
檢查 $$$-1$$$：將 $$$3 x^{4} + x^{3} - 13 x^{2} - 2 x + 9$$$ 除以 $$$x - \left(-1\right) = x + 1$$$。
$$$P{\left(-1 \right)} = 0$$$；因此，餘數為 $$$0$$$。
因此，$$$-1$$$ 是一個根。
檢查 $$$\frac{1}{3}$$$：將 $$$3 x^{4} + x^{3} - 13 x^{2} - 2 x + 9$$$ 除以 $$$x - \frac{1}{3}$$$。
$$$P{\left(\frac{1}{3} \right)} = \frac{188}{27}$$$；因此，餘數為 $$$\frac{188}{27}$$$。
檢查 $$$- \frac{1}{3}$$$：將 $$$3 x^{4} + x^{3} - 13 x^{2} - 2 x + 9$$$ 除以 $$$x - \left(- \frac{1}{3}\right) = x + \frac{1}{3}$$$。
$$$P{\left(- \frac{1}{3} \right)} = \frac{74}{9}$$$；因此，餘數為 $$$\frac{74}{9}$$$。
檢查 $$$3$$$：將 $$$3 x^{4} + x^{3} - 13 x^{2} - 2 x + 9$$$ 除以 $$$x - 3$$$。
$$$P{\left(3 \right)} = 156$$$；因此，餘數為 $$$156$$$。
檢查 $$$-3$$$：將 $$$3 x^{4} + x^{3} - 13 x^{2} - 2 x + 9$$$ 除以 $$$x - \left(-3\right) = x + 3$$$。
$$$P{\left(-3 \right)} = 114$$$；因此，餘數為 $$$114$$$。
檢查 $$$9$$$：將 $$$3 x^{4} + x^{3} - 13 x^{2} - 2 x + 9$$$ 除以 $$$x - 9$$$。
$$$P{\left(9 \right)} = 19350$$$；因此，餘數為 $$$19350$$$。
檢查 $$$-9$$$：將 $$$3 x^{4} + x^{3} - 13 x^{2} - 2 x + 9$$$ 除以 $$$x - \left(-9\right) = x + 9$$$。
$$$P{\left(-9 \right)} = 17928$$$；因此，餘數為 $$$17928$$$。
答案
可能的有理根：$$$\pm 1$$$, $$$\pm \frac{1}{3}$$$, $$$\pm 3$$$, $$$\pm 9$$$A。
實際的有理根：$$$-1$$$A。