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Mögliche und tatsächliche rationale Nullstellen von $$$f{\left(x \right)} = 2 x^{3} - 15 x^{2} + 9 x + 22$$$
Ihre Eingabe
Bestimme die rationalen Nullstellen von $$$2 x^{3} - 15 x^{2} + 9 x + 22 = 0$$$.
Lösung
Da alle Koeffizienten ganzzahlig sind, können wir den Satz über rationale Nullstellen anwenden.
Der Schlusskoeffizient (der Koeffizient des konstanten Glieds) ist $$$22$$$.
Finde die Faktoren (mit dem Pluszeichen und dem Minuszeichen): $$$\pm 1$$$, $$$\pm 2$$$, $$$\pm 11$$$, $$$\pm 22$$$.
Dies sind die möglichen Werte für $$$p$$$.
Der Leitkoeffizient (der Koeffizient des Terms höchsten Grades) ist $$$2$$$.
Bestimme seine Faktoren (mit Plus- und Minuszeichen): $$$\pm 1$$$, $$$\pm 2$$$.
Dies sind die möglichen Werte für $$$q$$$.
Finden Sie alle möglichen Werte von $$$\frac{p}{q}$$$: $$$\pm \frac{1}{1}$$$, $$$\pm \frac{1}{2}$$$, $$$\pm \frac{2}{1}$$$, $$$\pm \frac{2}{2}$$$, $$$\pm \frac{11}{1}$$$, $$$\pm \frac{11}{2}$$$, $$$\pm \frac{22}{1}$$$, $$$\pm \frac{22}{2}$$$.
Vereinfache und entferne Duplikate (falls vorhanden).
Dies sind die möglichen rationalen Nullstellen: $$$\pm 1$$$, $$$\pm \frac{1}{2}$$$, $$$\pm 2$$$, $$$\pm 11$$$, $$$\pm \frac{11}{2}$$$, $$$\pm 22$$$.
Als Nächstes prüfen Sie die möglichen Nullstellen: Wenn $$$a$$$ eine Nullstelle des Polynoms $$$P{\left(x \right)}$$$ ist, sollte der Rest bei der Division von $$$P{\left(x \right)}$$$ durch $$$x - a$$$ gleich $$$0$$$ sein (nach dem Restwertsatz bedeutet dies, dass $$$P{\left(a \right)} = 0$$$).
Überprüfe $$$1$$$: Teile $$$2 x^{3} - 15 x^{2} + 9 x + 22$$$ durch $$$x - 1$$$.
$$$P{\left(1 \right)} = 18$$$; daher ist der Rest $$$18$$$.
Überprüfe $$$-1$$$: Teile $$$2 x^{3} - 15 x^{2} + 9 x + 22$$$ durch $$$x - \left(-1\right) = x + 1$$$.
$$$P{\left(-1 \right)} = -4$$$; daher ist der Rest $$$-4$$$.
Überprüfe $$$\frac{1}{2}$$$: Teile $$$2 x^{3} - 15 x^{2} + 9 x + 22$$$ durch $$$x - \frac{1}{2}$$$.
$$$P{\left(\frac{1}{2} \right)} = 23$$$; daher ist der Rest $$$23$$$.
Überprüfe $$$- \frac{1}{2}$$$: Teile $$$2 x^{3} - 15 x^{2} + 9 x + 22$$$ durch $$$x - \left(- \frac{1}{2}\right) = x + \frac{1}{2}$$$.
$$$P{\left(- \frac{1}{2} \right)} = \frac{27}{2}$$$; daher ist der Rest $$$\frac{27}{2}$$$.
Überprüfe $$$2$$$: Teile $$$2 x^{3} - 15 x^{2} + 9 x + 22$$$ durch $$$x - 2$$$.
$$$P{\left(2 \right)} = -4$$$; daher ist der Rest $$$-4$$$.
Überprüfe $$$-2$$$: Teile $$$2 x^{3} - 15 x^{2} + 9 x + 22$$$ durch $$$x - \left(-2\right) = x + 2$$$.
$$$P{\left(-2 \right)} = -72$$$; daher ist der Rest $$$-72$$$.
Überprüfe $$$11$$$: Teile $$$2 x^{3} - 15 x^{2} + 9 x + 22$$$ durch $$$x - 11$$$.
$$$P{\left(11 \right)} = 968$$$; daher ist der Rest $$$968$$$.
Überprüfe $$$-11$$$: Teile $$$2 x^{3} - 15 x^{2} + 9 x + 22$$$ durch $$$x - \left(-11\right) = x + 11$$$.
$$$P{\left(-11 \right)} = -4554$$$; daher ist der Rest $$$-4554$$$.
Überprüfe $$$\frac{11}{2}$$$: Teile $$$2 x^{3} - 15 x^{2} + 9 x + 22$$$ durch $$$x - \frac{11}{2}$$$.
$$$P{\left(\frac{11}{2} \right)} = - \frac{99}{2}$$$; daher ist der Rest $$$- \frac{99}{2}$$$.
Überprüfe $$$- \frac{11}{2}$$$: Teile $$$2 x^{3} - 15 x^{2} + 9 x + 22$$$ durch $$$x - \left(- \frac{11}{2}\right) = x + \frac{11}{2}$$$.
$$$P{\left(- \frac{11}{2} \right)} = -814$$$; daher ist der Rest $$$-814$$$.
Überprüfe $$$22$$$: Teile $$$2 x^{3} - 15 x^{2} + 9 x + 22$$$ durch $$$x - 22$$$.
$$$P{\left(22 \right)} = 14256$$$; daher ist der Rest $$$14256$$$.
Überprüfe $$$-22$$$: Teile $$$2 x^{3} - 15 x^{2} + 9 x + 22$$$ durch $$$x - \left(-22\right) = x + 22$$$.
$$$P{\left(-22 \right)} = -28732$$$; daher ist der Rest $$$-28732$$$.
Antwort
Mögliche rationale Nullstellen: $$$\pm 1$$$, $$$\pm \frac{1}{2}$$$, $$$\pm 2$$$, $$$\pm 11$$$, $$$\pm \frac{11}{2}$$$, $$$\pm 22$$$A.
Tatsächliche rationale Nullstellen: keine rationalen Nullstellen.