|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Möjliga och faktiska rationella rötter till $$$f{\left(x \right)} = 2 x^{3} - 15 x^{2} + 9 x + 22$$$
Din inmatning
Hitta de rationella rötterna till $$$2 x^{3} - 15 x^{2} + 9 x + 22 = 0$$$.
Lösning
Eftersom alla koefficienter är heltal kan vi tillämpa satsen om rationella rötter.
Den sista koefficienten (koefficienten till konstanttermen) är $$$22$$$.
Bestäm dess faktorer (med både plus- och minustecken): $$$\pm 1$$$, $$$\pm 2$$$, $$$\pm 11$$$, $$$\pm 22$$$.
Detta är de möjliga värdena för $$$p$$$.
Den ledande koefficienten (koefficienten för termen av högst grad) är $$$2$$$.
Hitta dess faktorer (med plustecknet och minustecknet): $$$\pm 1$$$, $$$\pm 2$$$.
Detta är de möjliga värdena för $$$q$$$.
Bestäm alla möjliga värden för $$$\frac{p}{q}$$$: $$$\pm \frac{1}{1}$$$, $$$\pm \frac{1}{2}$$$, $$$\pm \frac{2}{1}$$$, $$$\pm \frac{2}{2}$$$, $$$\pm \frac{11}{1}$$$, $$$\pm \frac{11}{2}$$$, $$$\pm \frac{22}{1}$$$, $$$\pm \frac{22}{2}$$$.
Förenkla och ta bort dubbletter (om några).
Här är de möjliga rationella rötterna: $$$\pm 1$$$, $$$\pm \frac{1}{2}$$$, $$$\pm 2$$$, $$$\pm 11$$$, $$$\pm \frac{11}{2}$$$, $$$\pm 22$$$.
Kontrollera därefter de möjliga rötterna: om $$$a$$$ är en rot till polynomet $$$P{\left(x \right)}$$$, ska resten vid divisionen av $$$P{\left(x \right)}$$$ med $$$x - a$$$ vara lika med $$$0$$$ (enligt restteoremet innebär detta att $$$P{\left(a \right)} = 0$$$).
Kontrollera $$$1$$$: dividera $$$2 x^{3} - 15 x^{2} + 9 x + 22$$$ med $$$x - 1$$$.
$$$P{\left(1 \right)} = 18$$$; således är resten $$$18$$$.
Kontrollera $$$-1$$$: dividera $$$2 x^{3} - 15 x^{2} + 9 x + 22$$$ med $$$x - \left(-1\right) = x + 1$$$.
$$$P{\left(-1 \right)} = -4$$$; således är resten $$$-4$$$.
Kontrollera $$$\frac{1}{2}$$$: dividera $$$2 x^{3} - 15 x^{2} + 9 x + 22$$$ med $$$x - \frac{1}{2}$$$.
$$$P{\left(\frac{1}{2} \right)} = 23$$$; således är resten $$$23$$$.
Kontrollera $$$- \frac{1}{2}$$$: dividera $$$2 x^{3} - 15 x^{2} + 9 x + 22$$$ med $$$x - \left(- \frac{1}{2}\right) = x + \frac{1}{2}$$$.
$$$P{\left(- \frac{1}{2} \right)} = \frac{27}{2}$$$; således är resten $$$\frac{27}{2}$$$.
Kontrollera $$$2$$$: dividera $$$2 x^{3} - 15 x^{2} + 9 x + 22$$$ med $$$x - 2$$$.
$$$P{\left(2 \right)} = -4$$$; således är resten $$$-4$$$.
Kontrollera $$$-2$$$: dividera $$$2 x^{3} - 15 x^{2} + 9 x + 22$$$ med $$$x - \left(-2\right) = x + 2$$$.
$$$P{\left(-2 \right)} = -72$$$; således är resten $$$-72$$$.
Kontrollera $$$11$$$: dividera $$$2 x^{3} - 15 x^{2} + 9 x + 22$$$ med $$$x - 11$$$.
$$$P{\left(11 \right)} = 968$$$; således är resten $$$968$$$.
Kontrollera $$$-11$$$: dividera $$$2 x^{3} - 15 x^{2} + 9 x + 22$$$ med $$$x - \left(-11\right) = x + 11$$$.
$$$P{\left(-11 \right)} = -4554$$$; således är resten $$$-4554$$$.
Kontrollera $$$\frac{11}{2}$$$: dividera $$$2 x^{3} - 15 x^{2} + 9 x + 22$$$ med $$$x - \frac{11}{2}$$$.
$$$P{\left(\frac{11}{2} \right)} = - \frac{99}{2}$$$; således är resten $$$- \frac{99}{2}$$$.
Kontrollera $$$- \frac{11}{2}$$$: dividera $$$2 x^{3} - 15 x^{2} + 9 x + 22$$$ med $$$x - \left(- \frac{11}{2}\right) = x + \frac{11}{2}$$$.
$$$P{\left(- \frac{11}{2} \right)} = -814$$$; således är resten $$$-814$$$.
Kontrollera $$$22$$$: dividera $$$2 x^{3} - 15 x^{2} + 9 x + 22$$$ med $$$x - 22$$$.
$$$P{\left(22 \right)} = 14256$$$; således är resten $$$14256$$$.
Kontrollera $$$-22$$$: dividera $$$2 x^{3} - 15 x^{2} + 9 x + 22$$$ med $$$x - \left(-22\right) = x + 22$$$.
$$$P{\left(-22 \right)} = -28732$$$; således är resten $$$-28732$$$.
Svar
Möjliga rationella rötter: $$$\pm 1$$$, $$$\pm \frac{1}{2}$$$, $$$\pm 2$$$, $$$\pm 11$$$, $$$\pm \frac{11}{2}$$$, $$$\pm 22$$$A.
Faktiska rationella rötter: inga rationella rötter.