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Racines rationnelles possibles et effectives de $$$f{\left(x \right)} = 2 x^{3} - 15 x^{2} + 9 x + 22$$$
Votre saisie
Trouvez les racines rationnelles de $$$2 x^{3} - 15 x^{2} + 9 x + 22 = 0$$$.
Solution
Puisque tous les coefficients sont des entiers, nous pouvons appliquer le théorème des racines rationnelles.
Le coefficient indépendant (le coefficient du terme constant) est $$$22$$$.
Trouvez ses diviseurs (avec le signe plus et le signe moins) : $$$\pm 1$$$, $$$\pm 2$$$, $$$\pm 11$$$, $$$\pm 22$$$.
Voici les valeurs possibles de $$$p$$$.
Le coefficient dominant (le coefficient du terme de plus haut degré) est $$$2$$$.
Trouvez ses facteurs (avec les signes plus et moins) : $$$\pm 1$$$, $$$\pm 2$$$.
Voici les valeurs possibles de $$$q$$$.
Trouvez toutes les valeurs possibles de $$$\frac{p}{q}$$$ : $$$\pm \frac{1}{1}$$$, $$$\pm \frac{1}{2}$$$, $$$\pm \frac{2}{1}$$$, $$$\pm \frac{2}{2}$$$, $$$\pm \frac{11}{1}$$$, $$$\pm \frac{11}{2}$$$, $$$\pm \frac{22}{1}$$$, $$$\pm \frac{22}{2}$$$.
Simplifiez et supprimez les doublons (le cas échéant).
Voici les racines rationnelles possibles : $$$\pm 1$$$, $$$\pm \frac{1}{2}$$$, $$$\pm 2$$$, $$$\pm 11$$$, $$$\pm \frac{11}{2}$$$, $$$\pm 22$$$.
Ensuite, vérifiez les racines possibles : si $$$a$$$ est une racine du polynôme $$$P{\left(x \right)}$$$, le reste de la division de $$$P{\left(x \right)}$$$ par $$$x - a$$$ doit être égal à $$$0$$$ (d’après le théorème du reste, cela signifie que $$$P{\left(a \right)} = 0$$$).
Vérifiez $$$1$$$ : divisez $$$2 x^{3} - 15 x^{2} + 9 x + 22$$$ par $$$x - 1$$$.
$$$P{\left(1 \right)} = 18$$$ ; ainsi, le reste est $$$18$$$.
Vérifiez $$$-1$$$ : divisez $$$2 x^{3} - 15 x^{2} + 9 x + 22$$$ par $$$x - \left(-1\right) = x + 1$$$.
$$$P{\left(-1 \right)} = -4$$$ ; ainsi, le reste est $$$-4$$$.
Vérifiez $$$\frac{1}{2}$$$ : divisez $$$2 x^{3} - 15 x^{2} + 9 x + 22$$$ par $$$x - \frac{1}{2}$$$.
$$$P{\left(\frac{1}{2} \right)} = 23$$$ ; ainsi, le reste est $$$23$$$.
Vérifiez $$$- \frac{1}{2}$$$ : divisez $$$2 x^{3} - 15 x^{2} + 9 x + 22$$$ par $$$x - \left(- \frac{1}{2}\right) = x + \frac{1}{2}$$$.
$$$P{\left(- \frac{1}{2} \right)} = \frac{27}{2}$$$ ; ainsi, le reste est $$$\frac{27}{2}$$$.
Vérifiez $$$2$$$ : divisez $$$2 x^{3} - 15 x^{2} + 9 x + 22$$$ par $$$x - 2$$$.
$$$P{\left(2 \right)} = -4$$$ ; ainsi, le reste est $$$-4$$$.
Vérifiez $$$-2$$$ : divisez $$$2 x^{3} - 15 x^{2} + 9 x + 22$$$ par $$$x - \left(-2\right) = x + 2$$$.
$$$P{\left(-2 \right)} = -72$$$ ; ainsi, le reste est $$$-72$$$.
Vérifiez $$$11$$$ : divisez $$$2 x^{3} - 15 x^{2} + 9 x + 22$$$ par $$$x - 11$$$.
$$$P{\left(11 \right)} = 968$$$ ; ainsi, le reste est $$$968$$$.
Vérifiez $$$-11$$$ : divisez $$$2 x^{3} - 15 x^{2} + 9 x + 22$$$ par $$$x - \left(-11\right) = x + 11$$$.
$$$P{\left(-11 \right)} = -4554$$$ ; ainsi, le reste est $$$-4554$$$.
Vérifiez $$$\frac{11}{2}$$$ : divisez $$$2 x^{3} - 15 x^{2} + 9 x + 22$$$ par $$$x - \frac{11}{2}$$$.
$$$P{\left(\frac{11}{2} \right)} = - \frac{99}{2}$$$ ; ainsi, le reste est $$$- \frac{99}{2}$$$.
Vérifiez $$$- \frac{11}{2}$$$ : divisez $$$2 x^{3} - 15 x^{2} + 9 x + 22$$$ par $$$x - \left(- \frac{11}{2}\right) = x + \frac{11}{2}$$$.
$$$P{\left(- \frac{11}{2} \right)} = -814$$$ ; ainsi, le reste est $$$-814$$$.
Vérifiez $$$22$$$ : divisez $$$2 x^{3} - 15 x^{2} + 9 x + 22$$$ par $$$x - 22$$$.
$$$P{\left(22 \right)} = 14256$$$ ; ainsi, le reste est $$$14256$$$.
Vérifiez $$$-22$$$ : divisez $$$2 x^{3} - 15 x^{2} + 9 x + 22$$$ par $$$x - \left(-22\right) = x + 22$$$.
$$$P{\left(-22 \right)} = -28732$$$ ; ainsi, le reste est $$$-28732$$$.
Réponse
Racines rationnelles possibles : $$$\pm 1$$$, $$$\pm \frac{1}{2}$$$, $$$\pm 2$$$, $$$\pm 11$$$, $$$\pm \frac{11}{2}$$$, $$$\pm 22$$$A.
Racines rationnelles effectives : aucune racine rationnelle.