|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Πιθανές και υπαρκτές ρητές ρίζες του $$$f{\left(x \right)} = 2 x^{3} - 15 x^{2} + 9 x + 22$$$
Η είσοδός σας
Βρείτε τις ρητές ρίζες του $$$2 x^{3} - 15 x^{2} + 9 x + 22 = 0$$$.
Λύση
Εφόσον όλοι οι συντελεστές είναι ακέραιοι, μπορούμε να εφαρμόσουμε το θεώρημα των ρητών ριζών.
Ο καταληκτικός συντελεστής (ο συντελεστής του σταθερού όρου) είναι $$$22$$$.
Βρείτε τους παράγοντες του (με το συν και το πλην): $$$\pm 1$$$, $$$\pm 2$$$, $$$\pm 11$$$, $$$\pm 22$$$.
Αυτές είναι οι δυνατές τιμές για $$$p$$$.
Ο κύριος συντελεστής (ο συντελεστής του όρου με τον μεγαλύτερο βαθμό) είναι $$$2$$$.
Βρείτε τους παράγοντές του (με το πρόσημο συν και το πρόσημο μείον): $$$\pm 1$$$, $$$\pm 2$$$.
Αυτές είναι οι δυνατές τιμές για $$$q$$$.
Βρείτε όλες τις δυνατές τιμές για $$$\frac{p}{q}$$$: $$$\pm \frac{1}{1}$$$, $$$\pm \frac{1}{2}$$$, $$$\pm \frac{2}{1}$$$, $$$\pm \frac{2}{2}$$$, $$$\pm \frac{11}{1}$$$, $$$\pm \frac{11}{2}$$$, $$$\pm \frac{22}{1}$$$, $$$\pm \frac{22}{2}$$$.
Απλοποιήστε και αφαιρέστε τα διπλότυπα (αν υπάρχουν).
Αυτές είναι οι πιθανές ρητές ρίζες: $$$\pm 1$$$, $$$\pm \frac{1}{2}$$$, $$$\pm 2$$$, $$$\pm 11$$$, $$$\pm \frac{11}{2}$$$, $$$\pm 22$$$.
Στη συνέχεια, ελέγξτε τις πιθανές ρίζες: αν το $$$a$$$ είναι ρίζα του πολυωνύμου $$$P{\left(x \right)}$$$, το υπόλοιπο από τη διαίρεση του $$$P{\left(x \right)}$$$ με το $$$x - a$$$ πρέπει να ισούται με $$$0$$$ (σύμφωνα με το θεώρημα του υπολοίπου, αυτό σημαίνει ότι $$$P{\left(a \right)} = 0$$$).
Ελέγξτε $$$1$$$: διαιρέστε το $$$2 x^{3} - 15 x^{2} + 9 x + 22$$$ με τον $$$x - 1$$$.
$$$P{\left(1 \right)} = 18$$$· επομένως, το υπόλοιπο είναι $$$18$$$.
Ελέγξτε $$$-1$$$: διαιρέστε το $$$2 x^{3} - 15 x^{2} + 9 x + 22$$$ με τον $$$x - \left(-1\right) = x + 1$$$.
$$$P{\left(-1 \right)} = -4$$$· επομένως, το υπόλοιπο είναι $$$-4$$$.
Ελέγξτε $$$\frac{1}{2}$$$: διαιρέστε το $$$2 x^{3} - 15 x^{2} + 9 x + 22$$$ με τον $$$x - \frac{1}{2}$$$.
$$$P{\left(\frac{1}{2} \right)} = 23$$$· επομένως, το υπόλοιπο είναι $$$23$$$.
Ελέγξτε $$$- \frac{1}{2}$$$: διαιρέστε το $$$2 x^{3} - 15 x^{2} + 9 x + 22$$$ με τον $$$x - \left(- \frac{1}{2}\right) = x + \frac{1}{2}$$$.
$$$P{\left(- \frac{1}{2} \right)} = \frac{27}{2}$$$· επομένως, το υπόλοιπο είναι $$$\frac{27}{2}$$$.
Ελέγξτε $$$2$$$: διαιρέστε το $$$2 x^{3} - 15 x^{2} + 9 x + 22$$$ με τον $$$x - 2$$$.
$$$P{\left(2 \right)} = -4$$$· επομένως, το υπόλοιπο είναι $$$-4$$$.
Ελέγξτε $$$-2$$$: διαιρέστε το $$$2 x^{3} - 15 x^{2} + 9 x + 22$$$ με τον $$$x - \left(-2\right) = x + 2$$$.
$$$P{\left(-2 \right)} = -72$$$· επομένως, το υπόλοιπο είναι $$$-72$$$.
Ελέγξτε $$$11$$$: διαιρέστε το $$$2 x^{3} - 15 x^{2} + 9 x + 22$$$ με τον $$$x - 11$$$.
$$$P{\left(11 \right)} = 968$$$· επομένως, το υπόλοιπο είναι $$$968$$$.
Ελέγξτε $$$-11$$$: διαιρέστε το $$$2 x^{3} - 15 x^{2} + 9 x + 22$$$ με τον $$$x - \left(-11\right) = x + 11$$$.
$$$P{\left(-11 \right)} = -4554$$$· επομένως, το υπόλοιπο είναι $$$-4554$$$.
Ελέγξτε $$$\frac{11}{2}$$$: διαιρέστε το $$$2 x^{3} - 15 x^{2} + 9 x + 22$$$ με τον $$$x - \frac{11}{2}$$$.
$$$P{\left(\frac{11}{2} \right)} = - \frac{99}{2}$$$· επομένως, το υπόλοιπο είναι $$$- \frac{99}{2}$$$.
Ελέγξτε $$$- \frac{11}{2}$$$: διαιρέστε το $$$2 x^{3} - 15 x^{2} + 9 x + 22$$$ με τον $$$x - \left(- \frac{11}{2}\right) = x + \frac{11}{2}$$$.
$$$P{\left(- \frac{11}{2} \right)} = -814$$$· επομένως, το υπόλοιπο είναι $$$-814$$$.
Ελέγξτε $$$22$$$: διαιρέστε το $$$2 x^{3} - 15 x^{2} + 9 x + 22$$$ με τον $$$x - 22$$$.
$$$P{\left(22 \right)} = 14256$$$· επομένως, το υπόλοιπο είναι $$$14256$$$.
Ελέγξτε $$$-22$$$: διαιρέστε το $$$2 x^{3} - 15 x^{2} + 9 x + 22$$$ με τον $$$x - \left(-22\right) = x + 22$$$.
$$$P{\left(-22 \right)} = -28732$$$· επομένως, το υπόλοιπο είναι $$$-28732$$$.
Απάντηση
Πιθανές ρητές ρίζες: $$$\pm 1$$$, $$$\pm \frac{1}{2}$$$, $$$\pm 2$$$, $$$\pm 11$$$, $$$\pm \frac{11}{2}$$$, $$$\pm 22$$$A.
Ρητές ρίζες που βρέθηκαν: καμία ρητή ρίζα.