|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
$$$f{\left(x \right)} = 2 x^{3} - 15 x^{2} + 9 x + 22$$$ の可能な有理根と実際の有理根
入力内容
$$$2 x^{3} - 15 x^{2} + 9 x + 22 = 0$$$ の有理根を求めよ。
解答
すべての係数が整数であるため、有理根の定理を適用できます。
トレーリング係数（定数項の係数）は $$$22$$$ です。
その因数（正負の符号も含めて）を求めよ: $$$\pm 1$$$, $$$\pm 2$$$, $$$\pm 11$$$, $$$\pm 22$$$.
これらは$$$p$$$の取り得る値です。
首項係数（最高次の項の係数）は $$$2$$$ です。
その因数（正負の符号付き）を求めよ: $$$\pm 1$$$, $$$\pm 2$$$。
$$$q$$$の取り得る値は次のとおりです。
$$$\frac{p}{q}$$$ の取り得るすべての値を求めよ: $$$\pm \frac{1}{1}$$$, $$$\pm \frac{1}{2}$$$, $$$\pm \frac{2}{1}$$$, $$$\pm \frac{2}{2}$$$, $$$\pm \frac{11}{1}$$$, $$$\pm \frac{11}{2}$$$, $$$\pm \frac{22}{1}$$$, $$$\pm \frac{22}{2}$$$.
簡略化し、（もしあれば）重複を削除する。
可能な有理根は次のとおりです: $$$\pm 1$$$, $$$\pm \frac{1}{2}$$$, $$$\pm 2$$$, $$$\pm 11$$$, $$$\pm \frac{11}{2}$$$, $$$\pm 22$$$
次に、可能な根を確認します：$$$a$$$ が多項式 $$$P{\left(x \right)}$$$ の根であるなら、$$$P{\left(x \right)}$$$ を $$$x - a$$$ で割ったときの余りは $$$0$$$ になるはずです（剰余定理 によれば、これは $$$P{\left(a \right)} = 0$$$ を意味します）。
$$$1$$$ を検算：$$$2 x^{3} - 15 x^{2} + 9 x + 22$$$ を $$$x - 1$$$ で割る。
$$$P{\left(1 \right)} = 18$$$; したがって、余りは$$$18$$$です。
$$$-1$$$ を検算：$$$2 x^{3} - 15 x^{2} + 9 x + 22$$$ を $$$x - \left(-1\right) = x + 1$$$ で割る。
$$$P{\left(-1 \right)} = -4$$$; したがって、余りは$$$-4$$$です。
$$$\frac{1}{2}$$$ を検算：$$$2 x^{3} - 15 x^{2} + 9 x + 22$$$ を $$$x - \frac{1}{2}$$$ で割る。
$$$P{\left(\frac{1}{2} \right)} = 23$$$; したがって、余りは$$$23$$$です。
$$$- \frac{1}{2}$$$ を検算：$$$2 x^{3} - 15 x^{2} + 9 x + 22$$$ を $$$x - \left(- \frac{1}{2}\right) = x + \frac{1}{2}$$$ で割る。
$$$P{\left(- \frac{1}{2} \right)} = \frac{27}{2}$$$; したがって、余りは$$$\frac{27}{2}$$$です。
$$$2$$$ を検算：$$$2 x^{3} - 15 x^{2} + 9 x + 22$$$ を $$$x - 2$$$ で割る。
$$$P{\left(2 \right)} = -4$$$; したがって、余りは$$$-4$$$です。
$$$-2$$$ を検算：$$$2 x^{3} - 15 x^{2} + 9 x + 22$$$ を $$$x - \left(-2\right) = x + 2$$$ で割る。
$$$P{\left(-2 \right)} = -72$$$; したがって、余りは$$$-72$$$です。
$$$11$$$ を検算：$$$2 x^{3} - 15 x^{2} + 9 x + 22$$$ を $$$x - 11$$$ で割る。
$$$P{\left(11 \right)} = 968$$$; したがって、余りは$$$968$$$です。
$$$-11$$$ を検算：$$$2 x^{3} - 15 x^{2} + 9 x + 22$$$ を $$$x - \left(-11\right) = x + 11$$$ で割る。
$$$P{\left(-11 \right)} = -4554$$$; したがって、余りは$$$-4554$$$です。
$$$\frac{11}{2}$$$ を検算：$$$2 x^{3} - 15 x^{2} + 9 x + 22$$$ を $$$x - \frac{11}{2}$$$ で割る。
$$$P{\left(\frac{11}{2} \right)} = - \frac{99}{2}$$$; したがって、余りは$$$- \frac{99}{2}$$$です。
$$$- \frac{11}{2}$$$ を検算：$$$2 x^{3} - 15 x^{2} + 9 x + 22$$$ を $$$x - \left(- \frac{11}{2}\right) = x + \frac{11}{2}$$$ で割る。
$$$P{\left(- \frac{11}{2} \right)} = -814$$$; したがって、余りは$$$-814$$$です。
$$$22$$$ を検算：$$$2 x^{3} - 15 x^{2} + 9 x + 22$$$ を $$$x - 22$$$ で割る。
$$$P{\left(22 \right)} = 14256$$$; したがって、余りは$$$14256$$$です。
$$$-22$$$ を検算：$$$2 x^{3} - 15 x^{2} + 9 x + 22$$$ を $$$x - \left(-22\right) = x + 22$$$ で割る。
$$$P{\left(-22 \right)} = -28732$$$; したがって、余りは$$$-28732$$$です。
解答
可能な有理根: $$$\pm 1$$$, $$$\pm \frac{1}{2}$$$, $$$\pm 2$$$, $$$\pm 11$$$, $$$\pm \frac{11}{2}$$$, $$$\pm 22$$$A.
実際の有理根: 有理根はありません。