Mahdolliset ja toteutuvat rationaaliset juuret $$$f{\left(x \right)} = 2 x^{3} - 15 x^{2} + 9 x + 22$$$:lle

Etsi polynomin $$$2 x^{3} - 15 x^{2} + 9 x + 22 = 0$$$ rationaaliset nollakohdat.

Koska kaikki kertoimet ovat kokonaislukuja, voimme soveltaa rationaalisten nollakohtien lausetta.

Viimeinen kerroin (vakiotermin kerroin) on $$$22$$$.

Etsi sen tekijät (plus- ja miinusmerkkiset): $$$\pm 1$$$, $$$\pm 2$$$, $$$\pm 11$$$, $$$\pm 22$$$.

Nämä ovat $$$p$$$:n mahdolliset arvot.

Johtokerroin (suurimman asteen termin kerroin) on $$$2$$$.

Määritä sen tekijät (sekä plus- että miinusmerkillä): $$$\pm 1$$$, $$$\pm 2$$$.

Nämä ovat mahdolliset arvot $$$q$$$:lle.

Määritä kaikki mahdolliset arvot lausekkeelle $$$\frac{p}{q}$$$: $$$\pm \frac{1}{1}$$$, $$$\pm \frac{1}{2}$$$, $$$\pm \frac{2}{1}$$$, $$$\pm \frac{2}{2}$$$, $$$\pm \frac{11}{1}$$$, $$$\pm \frac{11}{2}$$$, $$$\pm \frac{22}{1}$$$, $$$\pm \frac{22}{2}$$$.

Yksinkertaista ja poista mahdolliset toistot (jos sellaisia on).

Nämä ovat mahdolliset rationaaliset juuret: $$$\pm 1$$$, $$$\pm \frac{1}{2}$$$, $$$\pm 2$$$, $$$\pm 11$$$, $$$\pm \frac{11}{2}$$$, $$$\pm 22$$$.

Seuraavaksi tarkista mahdolliset juuret: jos $$$a$$$ on polynomin $$$P{\left(x \right)}$$$ juuri, jaossa tekijällä $$$x - a$$$ jäännöksen tulee olla $$$0$$$ (jäännöslauseen mukaan tämä tarkoittaa, että $$$P{\left(a \right)} = 0$$$).

• Tarkista $$$1$$$: jaa $$$2 x^{3} - 15 x^{2} + 9 x + 22$$$ tekijällä $$$x - 1$$$.

  $$$P{\left(1 \right)} = 18$$$; joten jäännös on $$$18$$$.

• Tarkista $$$-1$$$: jaa $$$2 x^{3} - 15 x^{2} + 9 x + 22$$$ tekijällä $$$x - \left(-1\right) = x + 1$$$.

  $$$P{\left(-1 \right)} = -4$$$; joten jäännös on $$$-4$$$.

• Tarkista $$$\frac{1}{2}$$$: jaa $$$2 x^{3} - 15 x^{2} + 9 x + 22$$$ tekijällä $$$x - \frac{1}{2}$$$.

  $$$P{\left(\frac{1}{2} \right)} = 23$$$; joten jäännös on $$$23$$$.

• Tarkista $$$- \frac{1}{2}$$$: jaa $$$2 x^{3} - 15 x^{2} + 9 x + 22$$$ tekijällä $$$x - \left(- \frac{1}{2}\right) = x + \frac{1}{2}$$$.

  $$$P{\left(- \frac{1}{2} \right)} = \frac{27}{2}$$$; joten jäännös on $$$\frac{27}{2}$$$.

• Tarkista $$$2$$$: jaa $$$2 x^{3} - 15 x^{2} + 9 x + 22$$$ tekijällä $$$x - 2$$$.

  $$$P{\left(2 \right)} = -4$$$; joten jäännös on $$$-4$$$.

• Tarkista $$$-2$$$: jaa $$$2 x^{3} - 15 x^{2} + 9 x + 22$$$ tekijällä $$$x - \left(-2\right) = x + 2$$$.

  $$$P{\left(-2 \right)} = -72$$$; joten jäännös on $$$-72$$$.

• Tarkista $$$11$$$: jaa $$$2 x^{3} - 15 x^{2} + 9 x + 22$$$ tekijällä $$$x - 11$$$.

  $$$P{\left(11 \right)} = 968$$$; joten jäännös on $$$968$$$.

• Tarkista $$$-11$$$: jaa $$$2 x^{3} - 15 x^{2} + 9 x + 22$$$ tekijällä $$$x - \left(-11\right) = x + 11$$$.

  $$$P{\left(-11 \right)} = -4554$$$; joten jäännös on $$$-4554$$$.

• Tarkista $$$\frac{11}{2}$$$: jaa $$$2 x^{3} - 15 x^{2} + 9 x + 22$$$ tekijällä $$$x - \frac{11}{2}$$$.

  $$$P{\left(\frac{11}{2} \right)} = - \frac{99}{2}$$$; joten jäännös on $$$- \frac{99}{2}$$$.

• Tarkista $$$- \frac{11}{2}$$$: jaa $$$2 x^{3} - 15 x^{2} + 9 x + 22$$$ tekijällä $$$x - \left(- \frac{11}{2}\right) = x + \frac{11}{2}$$$.

  $$$P{\left(- \frac{11}{2} \right)} = -814$$$; joten jäännös on $$$-814$$$.

• Tarkista $$$22$$$: jaa $$$2 x^{3} - 15 x^{2} + 9 x + 22$$$ tekijällä $$$x - 22$$$.

  $$$P{\left(22 \right)} = 14256$$$; joten jäännös on $$$14256$$$.

• Tarkista $$$-22$$$: jaa $$$2 x^{3} - 15 x^{2} + 9 x + 22$$$ tekijällä $$$x - \left(-22\right) = x + 22$$$.

  $$$P{\left(-22 \right)} = -28732$$$; joten jäännös on $$$-28732$$$.

Mahdolliset rationaaliset juuret: $$$\pm 1$$$, $$$\pm \frac{1}{2}$$$, $$$\pm 2$$$, $$$\pm 11$$$, $$$\pm \frac{11}{2}$$$, $$$\pm 22$$$A.

Löydetyt rationaaliset juuret: ei rationaalisia juuria.