|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Mogelijke en daadwerkelijke rationele nulpunten van $$$f{\left(x \right)} = 2 x^{3} - 15 x^{2} + 9 x + 22$$$
Uw invoer
Vind de rationele nulpunten van $$$2 x^{3} - 15 x^{2} + 9 x + 22 = 0$$$.
Oplossing
Aangezien alle coëfficiënten gehele getallen zijn, kunnen we de stelling van de rationale wortels toepassen.
De laatste coëfficiënt (de coëfficiënt van de constante term) is $$$22$$$.
Vind de factoren ervan (met het plusteken en het minteken): $$$\pm 1$$$, $$$\pm 2$$$, $$$\pm 11$$$, $$$\pm 22$$$.
Dit zijn de mogelijke waarden voor $$$p$$$.
De leidende coëfficiënt (de coëfficiënt van de term met de hoogste graad) is $$$2$$$.
Vind de factoren (met het plus- en minteken): $$$\pm 1$$$, $$$\pm 2$$$.
Dit zijn de mogelijke waarden voor $$$q$$$.
Bepaal alle mogelijke waarden van $$$\frac{p}{q}$$$: $$$\pm \frac{1}{1}$$$, $$$\pm \frac{1}{2}$$$, $$$\pm \frac{2}{1}$$$, $$$\pm \frac{2}{2}$$$, $$$\pm \frac{11}{1}$$$, $$$\pm \frac{11}{2}$$$, $$$\pm \frac{22}{1}$$$, $$$\pm \frac{22}{2}$$$.
Vereenvoudig en verwijder de duplicaten (indien aanwezig).
Dit zijn de mogelijke rationele nulpunten: $$$\pm 1$$$, $$$\pm \frac{1}{2}$$$, $$$\pm 2$$$, $$$\pm 11$$$, $$$\pm \frac{11}{2}$$$, $$$\pm 22$$$.
Controleer vervolgens de mogelijke wortels: als $$$a$$$ een wortel van de veelterm $$$P{\left(x \right)}$$$ is, moet de rest bij de deling van $$$P{\left(x \right)}$$$ door $$$x - a$$$ gelijk zijn aan $$$0$$$ (volgens de reststelling betekent dit dat $$$P{\left(a \right)} = 0$$$).
Controleer $$$1$$$: deel $$$2 x^{3} - 15 x^{2} + 9 x + 22$$$ door $$$x - 1$$$.
$$$P{\left(1 \right)} = 18$$$; dus is de rest $$$18$$$.
Controleer $$$-1$$$: deel $$$2 x^{3} - 15 x^{2} + 9 x + 22$$$ door $$$x - \left(-1\right) = x + 1$$$.
$$$P{\left(-1 \right)} = -4$$$; dus is de rest $$$-4$$$.
Controleer $$$\frac{1}{2}$$$: deel $$$2 x^{3} - 15 x^{2} + 9 x + 22$$$ door $$$x - \frac{1}{2}$$$.
$$$P{\left(\frac{1}{2} \right)} = 23$$$; dus is de rest $$$23$$$.
Controleer $$$- \frac{1}{2}$$$: deel $$$2 x^{3} - 15 x^{2} + 9 x + 22$$$ door $$$x - \left(- \frac{1}{2}\right) = x + \frac{1}{2}$$$.
$$$P{\left(- \frac{1}{2} \right)} = \frac{27}{2}$$$; dus is de rest $$$\frac{27}{2}$$$.
Controleer $$$2$$$: deel $$$2 x^{3} - 15 x^{2} + 9 x + 22$$$ door $$$x - 2$$$.
$$$P{\left(2 \right)} = -4$$$; dus is de rest $$$-4$$$.
Controleer $$$-2$$$: deel $$$2 x^{3} - 15 x^{2} + 9 x + 22$$$ door $$$x - \left(-2\right) = x + 2$$$.
$$$P{\left(-2 \right)} = -72$$$; dus is de rest $$$-72$$$.
Controleer $$$11$$$: deel $$$2 x^{3} - 15 x^{2} + 9 x + 22$$$ door $$$x - 11$$$.
$$$P{\left(11 \right)} = 968$$$; dus is de rest $$$968$$$.
Controleer $$$-11$$$: deel $$$2 x^{3} - 15 x^{2} + 9 x + 22$$$ door $$$x - \left(-11\right) = x + 11$$$.
$$$P{\left(-11 \right)} = -4554$$$; dus is de rest $$$-4554$$$.
Controleer $$$\frac{11}{2}$$$: deel $$$2 x^{3} - 15 x^{2} + 9 x + 22$$$ door $$$x - \frac{11}{2}$$$.
$$$P{\left(\frac{11}{2} \right)} = - \frac{99}{2}$$$; dus is de rest $$$- \frac{99}{2}$$$.
Controleer $$$- \frac{11}{2}$$$: deel $$$2 x^{3} - 15 x^{2} + 9 x + 22$$$ door $$$x - \left(- \frac{11}{2}\right) = x + \frac{11}{2}$$$.
$$$P{\left(- \frac{11}{2} \right)} = -814$$$; dus is de rest $$$-814$$$.
Controleer $$$22$$$: deel $$$2 x^{3} - 15 x^{2} + 9 x + 22$$$ door $$$x - 22$$$.
$$$P{\left(22 \right)} = 14256$$$; dus is de rest $$$14256$$$.
Controleer $$$-22$$$: deel $$$2 x^{3} - 15 x^{2} + 9 x + 22$$$ door $$$x - \left(-22\right) = x + 22$$$.
$$$P{\left(-22 \right)} = -28732$$$; dus is de rest $$$-28732$$$.
Antwoord
Mogelijke rationele wortels: $$$\pm 1$$$, $$$\pm \frac{1}{2}$$$, $$$\pm 2$$$, $$$\pm 11$$$, $$$\pm \frac{11}{2}$$$, $$$\pm 22$$$A.
Daadwerkelijke rationele wortels: geen rationele wortels.