$$$\frac{e^{u}}{v}$$$ の $$$u$$$ に関する積分

$$$\int \frac{e^{u}}{v}\, du$$$ を求めよ。

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ を、$$$c=\frac{1}{v}$$$ と $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$ に対して適用する:

$${\color{red}{\int{\frac{e^{u}}{v} d u}}} = {\color{red}{\frac{\int{e^{u} d u}}{v}}}$$

指数関数の積分は $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$です:

$$\frac{{\color{red}{\int{e^{u} d u}}}}{v} = \frac{{\color{red}{e^{u}}}}{v}$$

したがって、

$$\int{\frac{e^{u}}{v} d u} = \frac{e^{u}}{v}$$

積分定数を加える:

$$\int{\frac{e^{u}}{v} d u} = \frac{e^{u}}{v}+C$$

$$$\int \frac{e^{u}}{v}\, du = \frac{e^{u}}{v} + C$$$A