Integral von $$$\frac{e^{x}}{x e^{2}}$$$

Bestimme $$$\int \frac{e^{x}}{x e^{2}}\, dx$$$.

Die Eingabe wird umgeschrieben: $$$\int{\frac{e^{x}}{x e^{2}} d x}=\int{\frac{e^{x - 2}}{x} d x}$$$.

Schreiben Sie den Integranden um:

$${\color{red}{\int{\frac{e^{x - 2}}{x} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{e^{x}}{x e^{2}} d x}}}$$

Wende die Konstantenfaktorregel $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ mit $$$c=e^{-2}$$$ und $$$f{\left(x \right)} = \frac{e^{x}}{x}$$$ an:

$${\color{red}{\int{\frac{e^{x}}{x e^{2}} d x}}} = {\color{red}{\frac{\int{\frac{e^{x}}{x} d x}}{e^{2}}}}$$

Dieses Integral (Exponentialintegral) besitzt keine geschlossene Form:

$$\frac{{\color{red}{\int{\frac{e^{x}}{x} d x}}}}{e^{2}} = \frac{{\color{red}{\operatorname{Ei}{\left(x \right)}}}}{e^{2}}$$

Daher,

$$\int{\frac{e^{x - 2}}{x} d x} = \frac{\operatorname{Ei}{\left(x \right)}}{e^{2}}$$

Fügen Sie die Integrationskonstante hinzu:

$$\int{\frac{e^{x - 2}}{x} d x} = \frac{\operatorname{Ei}{\left(x \right)}}{e^{2}}+C$$

$$$\int \frac{e^{x}}{x e^{2}}\, dx = \frac{\operatorname{Ei}{\left(x \right)}}{e^{2}} + C$$$A