$$$\frac{e^{x}}{x e^{2}}$$$の積分

$$$\int \frac{e^{x}}{x e^{2}}\, dx$$$ を求めよ。

入力は次のように書き換えられます: $$$\int{\frac{e^{x}}{x e^{2}} d x}=\int{\frac{e^{x - 2}}{x} d x}$$$。

被積分関数を書き換える:

$${\color{red}{\int{\frac{e^{x - 2}}{x} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{e^{x}}{x e^{2}} d x}}}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ を、$$$c=e^{-2}$$$ と $$$f{\left(x \right)} = \frac{e^{x}}{x}$$$ に対して適用する:

$${\color{red}{\int{\frac{e^{x}}{x e^{2}} d x}}} = {\color{red}{\frac{\int{\frac{e^{x}}{x} d x}}{e^{2}}}}$$

この積分（指数積分）には閉形式はありません:

$$\frac{{\color{red}{\int{\frac{e^{x}}{x} d x}}}}{e^{2}} = \frac{{\color{red}{\operatorname{Ei}{\left(x \right)}}}}{e^{2}}$$

したがって、

$$\int{\frac{e^{x - 2}}{x} d x} = \frac{\operatorname{Ei}{\left(x \right)}}{e^{2}}$$

積分定数を加える:

$$\int{\frac{e^{x - 2}}{x} d x} = \frac{\operatorname{Ei}{\left(x \right)}}{e^{2}}+C$$

$$$\int \frac{e^{x}}{x e^{2}}\, dx = \frac{\operatorname{Ei}{\left(x \right)}}{e^{2}} + C$$$A