Intégrale de $$$\frac{e^{x}}{x e^{2}}$$$

Déterminez $$$\int \frac{e^{x}}{x e^{2}}\, dx$$$.

L’entrée est réécrite : $$$\int{\frac{e^{x}}{x e^{2}} d x}=\int{\frac{e^{x - 2}}{x} d x}$$$.

Réécrivez l'intégrande:

$${\color{red}{\int{\frac{e^{x - 2}}{x} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{e^{x}}{x e^{2}} d x}}}$$

Appliquez la règle du facteur constant $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ avec $$$c=e^{-2}$$$ et $$$f{\left(x \right)} = \frac{e^{x}}{x}$$$ :

$${\color{red}{\int{\frac{e^{x}}{x e^{2}} d x}}} = {\color{red}{\frac{\int{\frac{e^{x}}{x} d x}}{e^{2}}}}$$

Cette intégrale (Intégrale exponentielle) n’admet pas de forme fermée :

$$\frac{{\color{red}{\int{\frac{e^{x}}{x} d x}}}}{e^{2}} = \frac{{\color{red}{\operatorname{Ei}{\left(x \right)}}}}{e^{2}}$$

Par conséquent,

$$\int{\frac{e^{x - 2}}{x} d x} = \frac{\operatorname{Ei}{\left(x \right)}}{e^{2}}$$

Ajouter la constante d'intégration :

$$\int{\frac{e^{x - 2}}{x} d x} = \frac{\operatorname{Ei}{\left(x \right)}}{e^{2}}+C$$

$$$\int \frac{e^{x}}{x e^{2}}\, dx = \frac{\operatorname{Ei}{\left(x \right)}}{e^{2}} + C$$$A