$$$t$$$에 대한 $$$2 e^{2 t - 4 u}$$$의 적분

$$$\int 2 e^{2 t - 4 u}\, dt$$$을(를) 구하시오.

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(t \right)}\, dt = c \int f{\left(t \right)}\, dt$$$을 $$$c=2$$$와 $$$f{\left(t \right)} = e^{2 t - 4 u}$$$에 적용하세요:

$${\color{red}{\int{2 e^{2 t - 4 u} d t}}} = {\color{red}{\left(2 \int{e^{2 t - 4 u} d t}\right)}}$$

$$$v=2 t - 4 u$$$라 하자.

그러면 $$$dv=\left(2 t - 4 u\right)^{\prime }dt = 2 dt$$$ (단계는 »에서 볼 수 있습니다), 그리고 $$$dt = \frac{dv}{2}$$$임을 얻습니다.

적분은 다음과 같이 다시 쓸 수 있습니다.

$$2 {\color{red}{\int{e^{2 t - 4 u} d t}}} = 2 {\color{red}{\int{\frac{e^{v}}{2} d v}}}$$

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(v \right)}\, dv = c \int f{\left(v \right)}\, dv$$$을 $$$c=\frac{1}{2}$$$와 $$$f{\left(v \right)} = e^{v}$$$에 적용하세요:

$$2 {\color{red}{\int{\frac{e^{v}}{2} d v}}} = 2 {\color{red}{\left(\frac{\int{e^{v} d v}}{2}\right)}}$$

지수 함수의 적분은 $$$\int{e^{v} d v} = e^{v}$$$입니다:

$${\color{red}{\int{e^{v} d v}}} = {\color{red}{e^{v}}}$$

다음 $$$v=2 t - 4 u$$$을 기억하라:

$$e^{{\color{red}{v}}} = e^{{\color{red}{\left(2 t - 4 u\right)}}}$$

따라서,

$$\int{2 e^{2 t - 4 u} d t} = e^{2 t - 4 u}$$

적분 상수를 추가하세요:

$$\int{2 e^{2 t - 4 u} d t} = e^{2 t - 4 u}+C$$

$$$\int 2 e^{2 t - 4 u}\, dt = e^{2 t - 4 u} + C$$$A