Intégrale de $$$2 e^{2 t - 4 u}$$$ par rapport à $$$t$$$

Déterminez $$$\int 2 e^{2 t - 4 u}\, dt$$$.

Appliquez la règle du facteur constant $$$\int c f{\left(t \right)}\, dt = c \int f{\left(t \right)}\, dt$$$ avec $$$c=2$$$ et $$$f{\left(t \right)} = e^{2 t - 4 u}$$$ :

$${\color{red}{\int{2 e^{2 t - 4 u} d t}}} = {\color{red}{\left(2 \int{e^{2 t - 4 u} d t}\right)}}$$

Soit $$$v=2 t - 4 u$$$.

Alors $$$dv=\left(2 t - 4 u\right)^{\prime }dt = 2 dt$$$ (les étapes peuvent être vues »), et nous obtenons $$$dt = \frac{dv}{2}$$$.

L’intégrale devient

$$2 {\color{red}{\int{e^{2 t - 4 u} d t}}} = 2 {\color{red}{\int{\frac{e^{v}}{2} d v}}}$$

Appliquez la règle du facteur constant $$$\int c f{\left(v \right)}\, dv = c \int f{\left(v \right)}\, dv$$$ avec $$$c=\frac{1}{2}$$$ et $$$f{\left(v \right)} = e^{v}$$$ :

$$2 {\color{red}{\int{\frac{e^{v}}{2} d v}}} = 2 {\color{red}{\left(\frac{\int{e^{v} d v}}{2}\right)}}$$

L'intégrale de la fonction exponentielle vaut $$$\int{e^{v} d v} = e^{v}$$$ :

$${\color{red}{\int{e^{v} d v}}} = {\color{red}{e^{v}}}$$

Rappelons que $$$v=2 t - 4 u$$$ :

$$e^{{\color{red}{v}}} = e^{{\color{red}{\left(2 t - 4 u\right)}}}$$

Par conséquent,

$$\int{2 e^{2 t - 4 u} d t} = e^{2 t - 4 u}$$

Ajouter la constante d'intégration :

$$\int{2 e^{2 t - 4 u} d t} = e^{2 t - 4 u}+C$$

$$$\int 2 e^{2 t - 4 u}\, dt = e^{2 t - 4 u} + C$$$A