$$$2 e^{2 t - 4 u}$$$ 對 $$$t$$$ 的積分

求$$$\int 2 e^{2 t - 4 u}\, dt$$$。

套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(t \right)}\, dt = c \int f{\left(t \right)}\, dt$$$，使用 $$$c=2$$$ 與 $$$f{\left(t \right)} = e^{2 t - 4 u}$$$：

$${\color{red}{\int{2 e^{2 t - 4 u} d t}}} = {\color{red}{\left(2 \int{e^{2 t - 4 u} d t}\right)}}$$

令 $$$v=2 t - 4 u$$$。

則 $$$dv=\left(2 t - 4 u\right)^{\prime }dt = 2 dt$$$ (步驟見»)，並可得 $$$dt = \frac{dv}{2}$$$。

因此，

$$2 {\color{red}{\int{e^{2 t - 4 u} d t}}} = 2 {\color{red}{\int{\frac{e^{v}}{2} d v}}}$$

套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(v \right)}\, dv = c \int f{\left(v \right)}\, dv$$$，使用 $$$c=\frac{1}{2}$$$ 與 $$$f{\left(v \right)} = e^{v}$$$：

$$2 {\color{red}{\int{\frac{e^{v}}{2} d v}}} = 2 {\color{red}{\left(\frac{\int{e^{v} d v}}{2}\right)}}$$

指數函數的積分為 $$$\int{e^{v} d v} = e^{v}$$$：

$${\color{red}{\int{e^{v} d v}}} = {\color{red}{e^{v}}}$$

回顧一下 $$$v=2 t - 4 u$$$：

$$e^{{\color{red}{v}}} = e^{{\color{red}{\left(2 t - 4 u\right)}}}$$

因此，

$$\int{2 e^{2 t - 4 u} d t} = e^{2 t - 4 u}$$

加上積分常數：

$$\int{2 e^{2 t - 4 u} d t} = e^{2 t - 4 u}+C$$

$$$\int 2 e^{2 t - 4 u}\, dt = e^{2 t - 4 u} + C$$$A