$$$2 e^{2 t - 4 u}$$$ の $$$t$$$ に関する積分

$$$\int 2 e^{2 t - 4 u}\, dt$$$ を求めよ。

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(t \right)}\, dt = c \int f{\left(t \right)}\, dt$$$ を、$$$c=2$$$ と $$$f{\left(t \right)} = e^{2 t - 4 u}$$$ に対して適用する:

$${\color{red}{\int{2 e^{2 t - 4 u} d t}}} = {\color{red}{\left(2 \int{e^{2 t - 4 u} d t}\right)}}$$

$$$v=2 t - 4 u$$$ とする。

すると $$$dv=\left(2 t - 4 u\right)^{\prime }dt = 2 dt$$$（手順は»で確認できます）、$$$dt = \frac{dv}{2}$$$ となります。

積分は次のようになります

$$2 {\color{red}{\int{e^{2 t - 4 u} d t}}} = 2 {\color{red}{\int{\frac{e^{v}}{2} d v}}}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(v \right)}\, dv = c \int f{\left(v \right)}\, dv$$$ を、$$$c=\frac{1}{2}$$$ と $$$f{\left(v \right)} = e^{v}$$$ に対して適用する:

$$2 {\color{red}{\int{\frac{e^{v}}{2} d v}}} = 2 {\color{red}{\left(\frac{\int{e^{v} d v}}{2}\right)}}$$

指数関数の積分は $$$\int{e^{v} d v} = e^{v}$$$です:

$${\color{red}{\int{e^{v} d v}}} = {\color{red}{e^{v}}}$$

次のことを思い出してください $$$v=2 t - 4 u$$$:

$$e^{{\color{red}{v}}} = e^{{\color{red}{\left(2 t - 4 u\right)}}}$$

したがって、

$$\int{2 e^{2 t - 4 u} d t} = e^{2 t - 4 u}$$

積分定数を加える:

$$\int{2 e^{2 t - 4 u} d t} = e^{2 t - 4 u}+C$$

$$$\int 2 e^{2 t - 4 u}\, dt = e^{2 t - 4 u} + C$$$A