Integralen av $$$2 e^{2 t - 4 u}$$$ med avseende på $$$t$$$

Bestäm $$$\int 2 e^{2 t - 4 u}\, dt$$$.

Tillämpa konstantfaktorregeln $$$\int c f{\left(t \right)}\, dt = c \int f{\left(t \right)}\, dt$$$ med $$$c=2$$$ och $$$f{\left(t \right)} = e^{2 t - 4 u}$$$:

$${\color{red}{\int{2 e^{2 t - 4 u} d t}}} = {\color{red}{\left(2 \int{e^{2 t - 4 u} d t}\right)}}$$

Låt $$$v=2 t - 4 u$$$ vara.

Då $$$dv=\left(2 t - 4 u\right)^{\prime }dt = 2 dt$$$ (stegen kan ses »), och vi har att $$$dt = \frac{dv}{2}$$$.

Integralen kan omskrivas som

$$2 {\color{red}{\int{e^{2 t - 4 u} d t}}} = 2 {\color{red}{\int{\frac{e^{v}}{2} d v}}}$$

Tillämpa konstantfaktorregeln $$$\int c f{\left(v \right)}\, dv = c \int f{\left(v \right)}\, dv$$$ med $$$c=\frac{1}{2}$$$ och $$$f{\left(v \right)} = e^{v}$$$:

$$2 {\color{red}{\int{\frac{e^{v}}{2} d v}}} = 2 {\color{red}{\left(\frac{\int{e^{v} d v}}{2}\right)}}$$

Integralen av den exponentiella funktionen är $$$\int{e^{v} d v} = e^{v}$$$:

$${\color{red}{\int{e^{v} d v}}} = {\color{red}{e^{v}}}$$

Kom ihåg att $$$v=2 t - 4 u$$$:

$$e^{{\color{red}{v}}} = e^{{\color{red}{\left(2 t - 4 u\right)}}}$$

Alltså,

$$\int{2 e^{2 t - 4 u} d t} = e^{2 t - 4 u}$$

Lägg till integrationskonstanten:

$$\int{2 e^{2 t - 4 u} d t} = e^{2 t - 4 u}+C$$

$$$\int 2 e^{2 t - 4 u}\, dt = e^{2 t - 4 u} + C$$$A