Integraali $$$2 e^{2 t - 4 u}$$$:stä muuttujan $$$t$$$ suhteen

Määritä $$$\int 2 e^{2 t - 4 u}\, dt$$$.

Sovella vakiokertoimen sääntöä $$$\int c f{\left(t \right)}\, dt = c \int f{\left(t \right)}\, dt$$$ käyttäen $$$c=2$$$ ja $$$f{\left(t \right)} = e^{2 t - 4 u}$$$:

$${\color{red}{\int{2 e^{2 t - 4 u} d t}}} = {\color{red}{\left(2 \int{e^{2 t - 4 u} d t}\right)}}$$

Olkoon $$$v=2 t - 4 u$$$.

Tällöin $$$dv=\left(2 t - 4 u\right)^{\prime }dt = 2 dt$$$ (vaiheet ovat nähtävissä ») ja saamme, että $$$dt = \frac{dv}{2}$$$.

Näin ollen,

$$2 {\color{red}{\int{e^{2 t - 4 u} d t}}} = 2 {\color{red}{\int{\frac{e^{v}}{2} d v}}}$$

Sovella vakiokertoimen sääntöä $$$\int c f{\left(v \right)}\, dv = c \int f{\left(v \right)}\, dv$$$ käyttäen $$$c=\frac{1}{2}$$$ ja $$$f{\left(v \right)} = e^{v}$$$:

$$2 {\color{red}{\int{\frac{e^{v}}{2} d v}}} = 2 {\color{red}{\left(\frac{\int{e^{v} d v}}{2}\right)}}$$

Eksponenttifunktion integraali on $$$\int{e^{v} d v} = e^{v}$$$:

$${\color{red}{\int{e^{v} d v}}} = {\color{red}{e^{v}}}$$

Muista, että $$$v=2 t - 4 u$$$:

$$e^{{\color{red}{v}}} = e^{{\color{red}{\left(2 t - 4 u\right)}}}$$

Näin ollen,

$$\int{2 e^{2 t - 4 u} d t} = e^{2 t - 4 u}$$

Lisää integrointivakio:

$$\int{2 e^{2 t - 4 u} d t} = e^{2 t - 4 u}+C$$

$$$\int 2 e^{2 t - 4 u}\, dt = e^{2 t - 4 u} + C$$$A