$$$2 e^{2 t - 4 u}$$$ 关于$$$t$$$的积分

求$$$\int 2 e^{2 t - 4 u}\, dt$$$。

对 $$$c=2$$$ 和 $$$f{\left(t \right)} = e^{2 t - 4 u}$$$ 应用常数倍法则 $$$\int c f{\left(t \right)}\, dt = c \int f{\left(t \right)}\, dt$$$：

$${\color{red}{\int{2 e^{2 t - 4 u} d t}}} = {\color{red}{\left(2 \int{e^{2 t - 4 u} d t}\right)}}$$

设$$$v=2 t - 4 u$$$。

则$$$dv=\left(2 t - 4 u\right)^{\prime }dt = 2 dt$$$ (步骤见»)，并有$$$dt = \frac{dv}{2}$$$。

因此，

$$2 {\color{red}{\int{e^{2 t - 4 u} d t}}} = 2 {\color{red}{\int{\frac{e^{v}}{2} d v}}}$$

对 $$$c=\frac{1}{2}$$$ 和 $$$f{\left(v \right)} = e^{v}$$$ 应用常数倍法则 $$$\int c f{\left(v \right)}\, dv = c \int f{\left(v \right)}\, dv$$$：

$$2 {\color{red}{\int{\frac{e^{v}}{2} d v}}} = 2 {\color{red}{\left(\frac{\int{e^{v} d v}}{2}\right)}}$$

指数函数的积分为 $$$\int{e^{v} d v} = e^{v}$$$：

$${\color{red}{\int{e^{v} d v}}} = {\color{red}{e^{v}}}$$

回忆一下 $$$v=2 t - 4 u$$$:

$$e^{{\color{red}{v}}} = e^{{\color{red}{\left(2 t - 4 u\right)}}}$$

因此，

$$\int{2 e^{2 t - 4 u} d t} = e^{2 t - 4 u}$$

加上积分常数：

$$\int{2 e^{2 t - 4 u} d t} = e^{2 t - 4 u}+C$$

$$$\int 2 e^{2 t - 4 u}\, dt = e^{2 t - 4 u} + C$$$A