$$$t$$$ değişkenine göre $$$2 e^{2 t - 4 u}$$$ fonksiyonunun integrali

Bulun: $$$\int 2 e^{2 t - 4 u}\, dt$$$.

Sabit katsayı kuralı $$$\int c f{\left(t \right)}\, dt = c \int f{\left(t \right)}\, dt$$$'i $$$c=2$$$ ve $$$f{\left(t \right)} = e^{2 t - 4 u}$$$ ile uygula:

$${\color{red}{\int{2 e^{2 t - 4 u} d t}}} = {\color{red}{\left(2 \int{e^{2 t - 4 u} d t}\right)}}$$

$$$v=2 t - 4 u$$$ olsun.

Böylece $$$dv=\left(2 t - 4 u\right)^{\prime }dt = 2 dt$$$ (adımlar » görülebilir) ve $$$dt = \frac{dv}{2}$$$ elde ederiz.

İntegral şu şekilde yeniden yazılabilir:

$$2 {\color{red}{\int{e^{2 t - 4 u} d t}}} = 2 {\color{red}{\int{\frac{e^{v}}{2} d v}}}$$

Sabit katsayı kuralı $$$\int c f{\left(v \right)}\, dv = c \int f{\left(v \right)}\, dv$$$'i $$$c=\frac{1}{2}$$$ ve $$$f{\left(v \right)} = e^{v}$$$ ile uygula:

$$2 {\color{red}{\int{\frac{e^{v}}{2} d v}}} = 2 {\color{red}{\left(\frac{\int{e^{v} d v}}{2}\right)}}$$

Üstel fonksiyonun integrali $$$\int{e^{v} d v} = e^{v}$$$:

$${\color{red}{\int{e^{v} d v}}} = {\color{red}{e^{v}}}$$

Hatırlayın ki $$$v=2 t - 4 u$$$:

$$e^{{\color{red}{v}}} = e^{{\color{red}{\left(2 t - 4 u\right)}}}$$

Dolayısıyla,

$$\int{2 e^{2 t - 4 u} d t} = e^{2 t - 4 u}$$

İntegrasyon sabitini ekleyin:

$$\int{2 e^{2 t - 4 u} d t} = e^{2 t - 4 u}+C$$

$$$\int 2 e^{2 t - 4 u}\, dt = e^{2 t - 4 u} + C$$$A