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$$$x$$$에 대한 $$$\ln\left(y\right) = x \ln\left(2\right)$$$의 암시적 도함수
사용자 입력
$$$\frac{d}{dx} \left(\ln\left(y\right) = x \ln\left(2\right)\right)$$$을(를) 구하시오.
풀이
방정식의 양변을 각각 미분하시오($$$y$$$를 $$$x$$$의 함수로 보고): $$$\frac{d}{dx} \left(\ln\left(y{\left(x \right)}\right)\right) = \frac{d}{dx} \left(x \ln\left(2\right)\right)$$$.
방정식의 좌변을 미분하세요.
함수 $$$\ln\left(y{\left(x \right)}\right)$$$는 두 함수 $$$f{\left(u \right)} = \ln\left(u\right)$$$와 $$$g{\left(x \right)} = y{\left(x \right)}$$$의 합성함수 $$$f{\left(g{\left(x \right)} \right)}$$$이다.
연쇄법칙 $$$\frac{d}{dx} \left(f{\left(g{\left(x \right)} \right)}\right) = \frac{d}{du} \left(f{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dx} \left(g{\left(x \right)}\right)$$$을(를) 적용하십시오:
$${\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\ln\left(y{\left(x \right)}\right)\right)\right)} = {\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\ln\left(u\right)\right) \frac{d}{dx} \left(y{\left(x \right)}\right)\right)}$$자연로그 함수의 도함수는 $$$\frac{d}{du} \left(\ln\left(u\right)\right) = \frac{1}{u}$$$:
$${\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\ln\left(u\right)\right)\right)} \frac{d}{dx} \left(y{\left(x \right)}\right) = {\color{red}\left(\frac{1}{u}\right)} \frac{d}{dx} \left(y{\left(x \right)}\right)$$역치환:
$$\frac{\frac{d}{dx} \left(y{\left(x \right)}\right)}{{\color{red}\left(u\right)}} = \frac{\frac{d}{dx} \left(y{\left(x \right)}\right)}{{\color{red}\left(y{\left(x \right)}\right)}}$$따라서, $$$\frac{d}{dx} \left(\ln\left(y{\left(x \right)}\right)\right) = \frac{\frac{d}{dx} \left(y{\left(x \right)}\right)}{y{\left(x \right)}}$$$.
방정식의 우변을 미분하시오.
상수배 법칙 $$$\frac{d}{dx} \left(c f{\left(x \right)}\right) = c \frac{d}{dx} \left(f{\left(x \right)}\right)$$$을 $$$c = \ln\left(2\right)$$$와 $$$f{\left(x \right)} = x$$$에 적용합니다:
$${\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x \ln\left(2\right)\right)\right)} = {\color{red}\left(\ln\left(2\right) \frac{d}{dx} \left(x\right)\right)}$$멱법칙 $$$\frac{d}{dx} \left(x^{n}\right) = n x^{n - 1}$$$을 $$$n = 1$$$에 대해 적용하면, 즉 $$$\frac{d}{dx} \left(x\right) = 1$$$:
$$\ln\left(2\right) {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x\right)\right)} = \ln\left(2\right) {\color{red}\left(1\right)}$$따라서, $$$\frac{d}{dx} \left(x \ln\left(2\right)\right) = \ln\left(2\right)$$$.
따라서 도함수에 대한 다음과 같은 선형 방정식을 얻었다: $$$\frac{\frac{dy}{dx}}{y} = \ln\left(2\right)$$$
이를 풀면 $$$\frac{dy}{dx} = y \ln\left(2\right)$$$라는 결과를 얻습니다.
정답
$$$\frac{dy}{dx} = y \ln\left(2\right)$$$A