$$$\ln\left(y\right) = x \ln\left(2\right)$$$ 對 $$$x$$$ 的隱式導數

求$$$\frac{d}{dx} \left(\ln\left(y\right) = x \ln\left(2\right)\right)$$$。

分別對等式兩邊求導（將 $$$y$$$ 視為 $$$x$$$ 的函數）：$$$\frac{d}{dx} \left(\ln\left(y{\left(x \right)}\right)\right) = \frac{d}{dx} \left(x \ln\left(2\right)\right)$$$。

對等式左邊求導數。

函數 $$$\ln\left(y{\left(x \right)}\right)$$$ 是兩個函數 $$$f{\left(u \right)} = \ln\left(u\right)$$$ 與 $$$g{\left(x \right)} = y{\left(x \right)}$$$ 之複合 $$$f{\left(g{\left(x \right)} \right)}$$$。

應用鏈式法則 $$$\frac{d}{dx} \left(f{\left(g{\left(x \right)} \right)}\right) = \frac{d}{du} \left(f{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dx} \left(g{\left(x \right)}\right)$$$：

自然對數的導數為 $$$\frac{d}{du} \left(\ln\left(u\right)\right) = \frac{1}{u}$$$：

返回原變數：

因此，$$$\frac{d}{dx} \left(\ln\left(y{\left(x \right)}\right)\right) = \frac{\frac{d}{dx} \left(y{\left(x \right)}\right)}{y{\left(x \right)}}$$$。

對等式右邊求導。

套用常數倍法則 $$$\frac{d}{dx} \left(c f{\left(x \right)}\right) = c \frac{d}{dx} \left(f{\left(x \right)}\right)$$$，使用 $$$c = \ln\left(2\right)$$$ 與 $$$f{\left(x \right)} = x$$$：

套用冪次法則 $$$\frac{d}{dx} \left(x^{n}\right) = n x^{n - 1}$$$，取 $$$n = 1$$$，也就是 $$$\frac{d}{dx} \left(x\right) = 1$$$：

因此，$$$\frac{d}{dx} \left(x \ln\left(2\right)\right) = \ln\left(2\right)$$$。

因此，我們得到以下關於導數的線性方程：$$$\frac{\frac{dy}{dx}}{y} = \ln\left(2\right)$$$。

解得 $$$\frac{dy}{dx} = y \ln\left(2\right)$$$。

$$$\frac{dy}{dx} = y \ln\left(2\right)$$$A