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Dérivée implicite de $$$\ln\left(y\right) = x \ln\left(2\right)$$$ par rapport à $$$x$$$
Votre saisie
Déterminez $$$\frac{d}{dx} \left(\ln\left(y\right) = x \ln\left(2\right)\right)$$$.
Solution
Dérivez séparément les deux membres de l'équation (en considérant $$$y$$$ comme une fonction de $$$x$$$) : $$$\frac{d}{dx} \left(\ln\left(y{\left(x \right)}\right)\right) = \frac{d}{dx} \left(x \ln\left(2\right)\right)$$$.
Dérivez le membre gauche de l’équation.
La fonction $$$\ln\left(y{\left(x \right)}\right)$$$ est la composée $$$f{\left(g{\left(x \right)} \right)}$$$ de deux fonctions $$$f{\left(u \right)} = \ln\left(u\right)$$$ et $$$g{\left(x \right)} = y{\left(x \right)}$$$.
Appliquez la règle de la chaîne $$$\frac{d}{dx} \left(f{\left(g{\left(x \right)} \right)}\right) = \frac{d}{du} \left(f{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dx} \left(g{\left(x \right)}\right)$$$:
$${\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\ln\left(y{\left(x \right)}\right)\right)\right)} = {\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\ln\left(u\right)\right) \frac{d}{dx} \left(y{\left(x \right)}\right)\right)}$$La dérivée du logarithme naturel est $$$\frac{d}{du} \left(\ln\left(u\right)\right) = \frac{1}{u}$$$ :
$${\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\ln\left(u\right)\right)\right)} \frac{d}{dx} \left(y{\left(x \right)}\right) = {\color{red}\left(\frac{1}{u}\right)} \frac{d}{dx} \left(y{\left(x \right)}\right)$$Revenir à la variable initiale:
$$\frac{\frac{d}{dx} \left(y{\left(x \right)}\right)}{{\color{red}\left(u\right)}} = \frac{\frac{d}{dx} \left(y{\left(x \right)}\right)}{{\color{red}\left(y{\left(x \right)}\right)}}$$Ainsi, $$$\frac{d}{dx} \left(\ln\left(y{\left(x \right)}\right)\right) = \frac{\frac{d}{dx} \left(y{\left(x \right)}\right)}{y{\left(x \right)}}$$$.
Dérivez le membre de droite de l’équation.
Appliquez la règle du facteur constant $$$\frac{d}{dx} \left(c f{\left(x \right)}\right) = c \frac{d}{dx} \left(f{\left(x \right)}\right)$$$ avec $$$c = \ln\left(2\right)$$$ et $$$f{\left(x \right)} = x$$$:
$${\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x \ln\left(2\right)\right)\right)} = {\color{red}\left(\ln\left(2\right) \frac{d}{dx} \left(x\right)\right)}$$Appliquez la règle de puissance $$$\frac{d}{dx} \left(x^{n}\right) = n x^{n - 1}$$$ avec $$$n = 1$$$, en d'autres termes, $$$\frac{d}{dx} \left(x\right) = 1$$$:
$$\ln\left(2\right) {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x\right)\right)} = \ln\left(2\right) {\color{red}\left(1\right)}$$Ainsi, $$$\frac{d}{dx} \left(x \ln\left(2\right)\right) = \ln\left(2\right)$$$.
Par conséquent, nous avons obtenu l’équation linéaire suivante par rapport à la dérivée : $$$\frac{\frac{dy}{dx}}{y} = \ln\left(2\right)$$$.
En la résolvant, nous obtenons que $$$\frac{dy}{dx} = y \ln\left(2\right)$$$.
Réponse
$$$\frac{dy}{dx} = y \ln\left(2\right)$$$A