|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Έμμεση παράγωγος της $$$\ln\left(y\right) = x \ln\left(2\right)$$$ ως προς $$$x$$$
Η είσοδός σας
Βρείτε $$$\frac{d}{dx} \left(\ln\left(y\right) = x \ln\left(2\right)\right)$$$.
Λύση
Παραγώγισε χωριστά και τα δύο μέλη της εξίσωσης (θεώρησε την $$$y$$$ ως συνάρτηση της $$$x$$$): $$$\frac{d}{dx} \left(\ln\left(y{\left(x \right)}\right)\right) = \frac{d}{dx} \left(x \ln\left(2\right)\right)$$$.
Υπολογίστε την παράγωγο του αριστερού μέλους της εξίσωσης.
Η συνάρτηση $$$\ln\left(y{\left(x \right)}\right)$$$ είναι η σύνθεση $$$f{\left(g{\left(x \right)} \right)}$$$ των δύο συναρτήσεων $$$f{\left(u \right)} = \ln\left(u\right)$$$ και $$$g{\left(x \right)} = y{\left(x \right)}$$$.
Εφαρμόστε τον κανόνα της αλυσίδας $$$\frac{d}{dx} \left(f{\left(g{\left(x \right)} \right)}\right) = \frac{d}{du} \left(f{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dx} \left(g{\left(x \right)}\right)$$$:
$${\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\ln\left(y{\left(x \right)}\right)\right)\right)} = {\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\ln\left(u\right)\right) \frac{d}{dx} \left(y{\left(x \right)}\right)\right)}$$Η παράγωγος του φυσικού λογαρίθμου είναι $$$\frac{d}{du} \left(\ln\left(u\right)\right) = \frac{1}{u}$$$:
$${\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\ln\left(u\right)\right)\right)} \frac{d}{dx} \left(y{\left(x \right)}\right) = {\color{red}\left(\frac{1}{u}\right)} \frac{d}{dx} \left(y{\left(x \right)}\right)$$Επιστροφή στην αρχική μεταβλητή:
$$\frac{\frac{d}{dx} \left(y{\left(x \right)}\right)}{{\color{red}\left(u\right)}} = \frac{\frac{d}{dx} \left(y{\left(x \right)}\right)}{{\color{red}\left(y{\left(x \right)}\right)}}$$Άρα, $$$\frac{d}{dx} \left(\ln\left(y{\left(x \right)}\right)\right) = \frac{\frac{d}{dx} \left(y{\left(x \right)}\right)}{y{\left(x \right)}}$$$.
Παραγώγισε το δεξί μέλος της εξίσωσης.
Εφαρμόστε τον κανόνα του σταθερού πολλαπλασιαστή $$$\frac{d}{dx} \left(c f{\left(x \right)}\right) = c \frac{d}{dx} \left(f{\left(x \right)}\right)$$$ με $$$c = \ln\left(2\right)$$$ και $$$f{\left(x \right)} = x$$$:
$${\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x \ln\left(2\right)\right)\right)} = {\color{red}\left(\ln\left(2\right) \frac{d}{dx} \left(x\right)\right)}$$Εφαρμόστε τον κανόνα δύναμης $$$\frac{d}{dx} \left(x^{n}\right) = n x^{n - 1}$$$ με $$$n = 1$$$, δηλαδή $$$\frac{d}{dx} \left(x\right) = 1$$$:
$$\ln\left(2\right) {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x\right)\right)} = \ln\left(2\right) {\color{red}\left(1\right)}$$Άρα, $$$\frac{d}{dx} \left(x \ln\left(2\right)\right) = \ln\left(2\right)$$$.
Επομένως, καταλήξαμε στην ακόλουθη γραμμική εξίσωση ως προς την παράγωγο: $$$\frac{\frac{dy}{dx}}{y} = \ln\left(2\right)$$$.
Λύνοντάς το, λαμβάνουμε ότι $$$\frac{dy}{dx} = y \ln\left(2\right)$$$.
Απάντηση
$$$\frac{dy}{dx} = y \ln\left(2\right)$$$A