$$$x$$$ に関する $$$\ln\left(y\right) = x \ln\left(2\right)$$$ の陰関数微分

$$$\frac{d}{dx} \left(\ln\left(y\right) = x \ln\left(2\right)\right)$$$ を求めよ。

方程式の両辺をそれぞれ微分せよ ($$$y$$$ を $$$x$$$ の関数として扱う): $$$\frac{d}{dx} \left(\ln\left(y{\left(x \right)}\right)\right) = \frac{d}{dx} \left(x \ln\left(2\right)\right)$$$

方程式の左辺を微分せよ。

関数$$$\ln\left(y{\left(x \right)}\right)$$$は、2つの関数$$$f{\left(u \right)} = \ln\left(u\right)$$$と$$$g{\left(x \right)} = y{\left(x \right)}$$$の合成$$$f{\left(g{\left(x \right)} \right)}$$$である。

連鎖律 $$$\frac{d}{dx} \left(f{\left(g{\left(x \right)} \right)}\right) = \frac{d}{du} \left(f{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dx} \left(g{\left(x \right)}\right)$$$ を適用する:

自然対数の導関数は $$$\frac{d}{du} \left(\ln\left(u\right)\right) = \frac{1}{u}$$$:

元の変数に戻す:

したがって、$$$\frac{d}{dx} \left(\ln\left(y{\left(x \right)}\right)\right) = \frac{\frac{d}{dx} \left(y{\left(x \right)}\right)}{y{\left(x \right)}}$$$。

方程式の右辺を微分する。

定数倍の法則 $$$\frac{d}{dx} \left(c f{\left(x \right)}\right) = c \frac{d}{dx} \left(f{\left(x \right)}\right)$$$ を $$$c = \ln\left(2\right)$$$ と $$$f{\left(x \right)} = x$$$ に対して適用します:

$$$n = 1$$$ を用いて冪法則 $$$\frac{d}{dx} \left(x^{n}\right) = n x^{n - 1}$$$ を適用すると、すなわち $$$\frac{d}{dx} \left(x\right) = 1$$$:

したがって、$$$\frac{d}{dx} \left(x \ln\left(2\right)\right) = \ln\left(2\right)$$$。

したがって、導関数に関する次の線形方程式が得られた：$$$\frac{\frac{dy}{dx}}{y} = \ln\left(2\right)$$$。

これを解くと、$$$\frac{dy}{dx} = y \ln\left(2\right)$$$ となる。

$$$\frac{dy}{dx} = y \ln\left(2\right)$$$A