|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Funktion $$$\ln\left(y\right) = x \ln\left(2\right)$$$ implisiittinen derivaatta muuttujan $$$x$$$ suhteen
Syötteesi
Määritä $$$\frac{d}{dx} \left(\ln\left(y\right) = x \ln\left(2\right)\right)$$$.
Ratkaisu
Derivoi erikseen yhtälön molemmat puolet (käsittele $$$y$$$:tä $$$x$$$:n funktiona): $$$\frac{d}{dx} \left(\ln\left(y{\left(x \right)}\right)\right) = \frac{d}{dx} \left(x \ln\left(2\right)\right)$$$.
Derivoi yhtälön vasen puoli.
Funktio $$$\ln\left(y{\left(x \right)}\right)$$$ on kahden funktion $$$f{\left(u \right)} = \ln\left(u\right)$$$ ja $$$g{\left(x \right)} = y{\left(x \right)}$$$ yhdistelmä $$$f{\left(g{\left(x \right)} \right)}$$$.
Sovella ketjusääntöä $$$\frac{d}{dx} \left(f{\left(g{\left(x \right)} \right)}\right) = \frac{d}{du} \left(f{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dx} \left(g{\left(x \right)}\right)$$$:
$${\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\ln\left(y{\left(x \right)}\right)\right)\right)} = {\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\ln\left(u\right)\right) \frac{d}{dx} \left(y{\left(x \right)}\right)\right)}$$Luonnollisen logaritmin derivaatta on $$$\frac{d}{du} \left(\ln\left(u\right)\right) = \frac{1}{u}$$$:
$${\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\ln\left(u\right)\right)\right)} \frac{d}{dx} \left(y{\left(x \right)}\right) = {\color{red}\left(\frac{1}{u}\right)} \frac{d}{dx} \left(y{\left(x \right)}\right)$$Palaa alkuperäiseen muuttujaan:
$$\frac{\frac{d}{dx} \left(y{\left(x \right)}\right)}{{\color{red}\left(u\right)}} = \frac{\frac{d}{dx} \left(y{\left(x \right)}\right)}{{\color{red}\left(y{\left(x \right)}\right)}}$$Näin ollen, $$$\frac{d}{dx} \left(\ln\left(y{\left(x \right)}\right)\right) = \frac{\frac{d}{dx} \left(y{\left(x \right)}\right)}{y{\left(x \right)}}$$$.
Derivoi yhtälön oikea puoli.
Sovella vakion kerroinsääntöä $$$\frac{d}{dx} \left(c f{\left(x \right)}\right) = c \frac{d}{dx} \left(f{\left(x \right)}\right)$$$ käyttäen $$$c = \ln\left(2\right)$$$ ja $$$f{\left(x \right)} = x$$$:
$${\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x \ln\left(2\right)\right)\right)} = {\color{red}\left(\ln\left(2\right) \frac{d}{dx} \left(x\right)\right)}$$Sovella potenssisääntöä $$$\frac{d}{dx} \left(x^{n}\right) = n x^{n - 1}$$$ käyttäen $$$n = 1$$$, toisin sanoen, $$$\frac{d}{dx} \left(x\right) = 1$$$:
$$\ln\left(2\right) {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x\right)\right)} = \ln\left(2\right) {\color{red}\left(1\right)}$$Näin ollen, $$$\frac{d}{dx} \left(x \ln\left(2\right)\right) = \ln\left(2\right)$$$.
Näin ollen olemme saaneet seuraavan derivaatan suhteen lineaarisen yhtälön: $$$\frac{\frac{dy}{dx}}{y} = \ln\left(2\right)$$$.
Ratkaisemalla saadaan, että $$$\frac{dy}{dx} = y \ln\left(2\right)$$$.
Vastaus
$$$\frac{dy}{dx} = y \ln\left(2\right)$$$A