|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
$$$\ln\left(y\right) = x \ln\left(2\right)$$$'nin $$$x$$$'e göre örtük türevi
Girdiniz
Bulun: $$$\frac{d}{dx} \left(\ln\left(y\right) = x \ln\left(2\right)\right)$$$.
Çözüm
Denklemin her iki tarafını ayrı ayrı türevleyin ($$$y$$$'yi $$$x$$$'in bir fonksiyonu olarak düşünün): $$$\frac{d}{dx} \left(\ln\left(y{\left(x \right)}\right)\right) = \frac{d}{dx} \left(x \ln\left(2\right)\right)$$$
Denklemin sol tarafının türevini alın.
$$$\ln\left(y{\left(x \right)}\right)$$$ fonksiyonu, iki fonksiyon $$$f{\left(u \right)} = \ln\left(u\right)$$$ ve $$$g{\left(x \right)} = y{\left(x \right)}$$$'nin $$$f{\left(g{\left(x \right)} \right)}$$$ bileşimidir.
Zincir kuralını $$$\frac{d}{dx} \left(f{\left(g{\left(x \right)} \right)}\right) = \frac{d}{du} \left(f{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dx} \left(g{\left(x \right)}\right)$$$ uygulayın:
$${\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\ln\left(y{\left(x \right)}\right)\right)\right)} = {\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\ln\left(u\right)\right) \frac{d}{dx} \left(y{\left(x \right)}\right)\right)}$$Doğal logaritmanın türevi $$$\frac{d}{du} \left(\ln\left(u\right)\right) = \frac{1}{u}$$$:
$${\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\ln\left(u\right)\right)\right)} \frac{d}{dx} \left(y{\left(x \right)}\right) = {\color{red}\left(\frac{1}{u}\right)} \frac{d}{dx} \left(y{\left(x \right)}\right)$$Eski değişkene geri dön:
$$\frac{\frac{d}{dx} \left(y{\left(x \right)}\right)}{{\color{red}\left(u\right)}} = \frac{\frac{d}{dx} \left(y{\left(x \right)}\right)}{{\color{red}\left(y{\left(x \right)}\right)}}$$Dolayısıyla, $$$\frac{d}{dx} \left(\ln\left(y{\left(x \right)}\right)\right) = \frac{\frac{d}{dx} \left(y{\left(x \right)}\right)}{y{\left(x \right)}}$$$.
Denklemin sağ tarafının türevini alın.
Sabit çarpan kuralını $$$\frac{d}{dx} \left(c f{\left(x \right)}\right) = c \frac{d}{dx} \left(f{\left(x \right)}\right)$$$ $$$c = \ln\left(2\right)$$$ ve $$$f{\left(x \right)} = x$$$ ile uygula:
$${\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x \ln\left(2\right)\right)\right)} = {\color{red}\left(\ln\left(2\right) \frac{d}{dx} \left(x\right)\right)}$$Kuvvet kuralını ($$$\frac{d}{dx} \left(x^{n}\right) = n x^{n - 1}$$$) $$$n = 1$$$ için uygulayın, başka bir deyişle, $$$\frac{d}{dx} \left(x\right) = 1$$$:
$$\ln\left(2\right) {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x\right)\right)} = \ln\left(2\right) {\color{red}\left(1\right)}$$Dolayısıyla, $$$\frac{d}{dx} \left(x \ln\left(2\right)\right) = \ln\left(2\right)$$$.
Dolayısıyla, türeve göre aşağıdaki doğrusal denklemi elde ettik: $$$\frac{\frac{dy}{dx}}{y} = \ln\left(2\right)$$$.
Çözdüğümüzde $$$\frac{dy}{dx} = y \ln\left(2\right)$$$ sonucunu elde ederiz.
Cevap
$$$\frac{dy}{dx} = y \ln\left(2\right)$$$A