$$$\ln\left(y\right) = x \ln\left(2\right)$$$ 关于 $$$x$$$ 的隐式导数

求$$$\frac{d}{dx} \left(\ln\left(y\right) = x \ln\left(2\right)\right)$$$。

分别对等式两边求导（将 $$$y$$$ 视为 $$$x$$$ 的函数）：$$$\frac{d}{dx} \left(\ln\left(y{\left(x \right)}\right)\right) = \frac{d}{dx} \left(x \ln\left(2\right)\right)$$$。

对方程的左边求导。

函数$$$\ln\left(y{\left(x \right)}\right)$$$是两个函数$$$f{\left(u \right)} = \ln\left(u\right)$$$和$$$g{\left(x \right)} = y{\left(x \right)}$$$的复合$$$f{\left(g{\left(x \right)} \right)}$$$。

应用链式法则 $$$\frac{d}{dx} \left(f{\left(g{\left(x \right)} \right)}\right) = \frac{d}{du} \left(f{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dx} \left(g{\left(x \right)}\right)$$$：

自然对数的导数为 $$$\frac{d}{du} \left(\ln\left(u\right)\right) = \frac{1}{u}$$$：

返回到原变量：

因此，$$$\frac{d}{dx} \left(\ln\left(y{\left(x \right)}\right)\right) = \frac{\frac{d}{dx} \left(y{\left(x \right)}\right)}{y{\left(x \right)}}$$$。

对等式右边求导。

对 $$$c = \ln\left(2\right)$$$ 和 $$$f{\left(x \right)} = x$$$ 应用常数倍法则 $$$\frac{d}{dx} \left(c f{\left(x \right)}\right) = c \frac{d}{dx} \left(f{\left(x \right)}\right)$$$：

应用幂法则 $$$\frac{d}{dx} \left(x^{n}\right) = n x^{n - 1}$$$，取 $$$n = 1$$$，也就是说，$$$\frac{d}{dx} \left(x\right) = 1$$$：

因此，$$$\frac{d}{dx} \left(x \ln\left(2\right)\right) = \ln\left(2\right)$$$。

因此，我们得到如下关于导数的线性方程：$$$\frac{\frac{dy}{dx}}{y} = \ln\left(2\right)$$$。

解得：$$$\frac{dy}{dx} = y \ln\left(2\right)$$$。

$$$\frac{dy}{dx} = y \ln\left(2\right)$$$A