Integraali $$$10 e^{i k n t t_{1}}$$$:stä muuttujan $$$t$$$ suhteen

Määritä $$$\int 10 e^{i k n t t_{1}}\, dt$$$.

Sovella vakiokertoimen sääntöä $$$\int c f{\left(t \right)}\, dt = c \int f{\left(t \right)}\, dt$$$ käyttäen $$$c=10$$$ ja $$$f{\left(t \right)} = e^{i k n t t_{1}}$$$:

$${\color{red}{\int{10 e^{i k n t t_{1}} d t}}} = {\color{red}{\left(10 \int{e^{i k n t t_{1}} d t}\right)}}$$

Olkoon $$$u=i k n t t_{1}$$$.

Tällöin $$$du=\left(i k n t t_{1}\right)^{\prime }dt = i k n t_{1} dt$$$ (vaiheet ovat nähtävissä ») ja saamme, että $$$dt = - \frac{i du}{k n t_{1}}$$$.

Siis,

$$10 {\color{red}{\int{e^{i k n t t_{1}} d t}}} = 10 {\color{red}{\int{\left(- \frac{i e^{u}}{k n t_{1}}\right)d u}}}$$

Sovella vakiokertoimen sääntöä $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ käyttäen $$$c=- \frac{i}{k n t_{1}}$$$ ja $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$:

$$10 {\color{red}{\int{\left(- \frac{i e^{u}}{k n t_{1}}\right)d u}}} = 10 {\color{red}{\left(- \frac{i \int{e^{u} d u}}{k n t_{1}}\right)}}$$

Eksponenttifunktion integraali on $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$:

$$- \frac{10 i {\color{red}{\int{e^{u} d u}}}}{k n t_{1}} = - \frac{10 i {\color{red}{e^{u}}}}{k n t_{1}}$$

Muista, että $$$u=i k n t t_{1}$$$:

$$- \frac{10 i e^{{\color{red}{u}}}}{k n t_{1}} = - \frac{10 i e^{{\color{red}{i k n t t_{1}}}}}{k n t_{1}}$$

Näin ollen,

$$\int{10 e^{i k n t t_{1}} d t} = - \frac{10 i e^{i k n t t_{1}}}{k n t_{1}}$$

Sievennä:

$$\int{10 e^{i k n t t_{1}} d t} = \frac{10 \left(\sin{\left(k n t t_{1} \right)} - i \cos{\left(k n t t_{1} \right)}\right)}{k n t_{1}}$$

Lisää integrointivakio:

$$\int{10 e^{i k n t t_{1}} d t} = \frac{10 \left(\sin{\left(k n t t_{1} \right)} - i \cos{\left(k n t t_{1} \right)}\right)}{k n t_{1}}+C$$

$$$\int 10 e^{i k n t t_{1}}\, dt = \frac{10 \left(\sin{\left(k n t t_{1} \right)} - i \cos{\left(k n t t_{1} \right)}\right)}{k n t_{1}} + C$$$A