Ολοκλήρωμα της $$$10 e^{i k n t t_{1}}$$$ ως προς $$$t$$$

Βρείτε $$$\int 10 e^{i k n t t_{1}}\, dt$$$.

Εφαρμόστε τον κανόνα του σταθερού πολλαπλασίου $$$\int c f{\left(t \right)}\, dt = c \int f{\left(t \right)}\, dt$$$ με $$$c=10$$$ και $$$f{\left(t \right)} = e^{i k n t t_{1}}$$$:

$${\color{red}{\int{10 e^{i k n t t_{1}} d t}}} = {\color{red}{\left(10 \int{e^{i k n t t_{1}} d t}\right)}}$$

Έστω $$$u=i k n t t_{1}$$$.

Τότε $$$du=\left(i k n t t_{1}\right)^{\prime }dt = i k n t_{1} dt$$$ (τα βήματα παρουσιάζονται »), και έχουμε ότι $$$dt = - \frac{i du}{k n t_{1}}$$$.

Επομένως,

$$10 {\color{red}{\int{e^{i k n t t_{1}} d t}}} = 10 {\color{red}{\int{\left(- \frac{i e^{u}}{k n t_{1}}\right)d u}}}$$

Εφαρμόστε τον κανόνα του σταθερού πολλαπλασίου $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ με $$$c=- \frac{i}{k n t_{1}}$$$ και $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$:

$$10 {\color{red}{\int{\left(- \frac{i e^{u}}{k n t_{1}}\right)d u}}} = 10 {\color{red}{\left(- \frac{i \int{e^{u} d u}}{k n t_{1}}\right)}}$$

Το ολοκλήρωμα της εκθετικής συνάρτησης είναι $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$:

$$- \frac{10 i {\color{red}{\int{e^{u} d u}}}}{k n t_{1}} = - \frac{10 i {\color{red}{e^{u}}}}{k n t_{1}}$$

Θυμηθείτε ότι $$$u=i k n t t_{1}$$$:

$$- \frac{10 i e^{{\color{red}{u}}}}{k n t_{1}} = - \frac{10 i e^{{\color{red}{i k n t t_{1}}}}}{k n t_{1}}$$

Επομένως,

$$\int{10 e^{i k n t t_{1}} d t} = - \frac{10 i e^{i k n t t_{1}}}{k n t_{1}}$$

Απλοποιήστε:

$$\int{10 e^{i k n t t_{1}} d t} = \frac{10 \left(\sin{\left(k n t t_{1} \right)} - i \cos{\left(k n t t_{1} \right)}\right)}{k n t_{1}}$$

Προσθέστε τη σταθερά ολοκλήρωσης:

$$\int{10 e^{i k n t t_{1}} d t} = \frac{10 \left(\sin{\left(k n t t_{1} \right)} - i \cos{\left(k n t t_{1} \right)}\right)}{k n t_{1}}+C$$

$$$\int 10 e^{i k n t t_{1}}\, dt = \frac{10 \left(\sin{\left(k n t t_{1} \right)} - i \cos{\left(k n t t_{1} \right)}\right)}{k n t_{1}} + C$$$A