Funktion $$$e^{x + e^{x}}$$$ integraali

Määritä $$$\int e^{x + e^{x}}\, dx$$$.

Olkoon $$$u=e^{x}$$$.

Tällöin $$$du=\left(e^{x}\right)^{\prime }dx = e^{x} dx$$$ (vaiheet ovat nähtävissä ») ja saamme, että $$$e^{x} dx = du$$$.

Siis,

$${\color{red}{\int{e^{x + e^{x}} d x}}} = {\color{red}{\int{e^{u} d u}}}$$

Eksponenttifunktion integraali on $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$:

$${\color{red}{\int{e^{u} d u}}} = {\color{red}{e^{u}}}$$

Muista, että $$$u=e^{x}$$$:

$$e^{{\color{red}{u}}} = e^{{\color{red}{e^{x}}}}$$

Näin ollen,

$$\int{e^{x + e^{x}} d x} = e^{e^{x}}$$

Lisää integrointivakio:

$$\int{e^{x + e^{x}} d x} = e^{e^{x}}+C$$

$$$\int e^{x + e^{x}}\, dx = e^{e^{x}} + C$$$A