Integralen av $$$e^{x + e^{x}}$$$

Bestäm $$$\int e^{x + e^{x}}\, dx$$$.

Låt $$$u=e^{x}$$$ vara.

Då $$$du=\left(e^{x}\right)^{\prime }dx = e^{x} dx$$$ (stegen kan ses »), och vi har att $$$e^{x} dx = du$$$.

Integralen kan omskrivas som

$${\color{red}{\int{e^{x + e^{x}} d x}}} = {\color{red}{\int{e^{u} d u}}}$$

Integralen av den exponentiella funktionen är $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$:

$${\color{red}{\int{e^{u} d u}}} = {\color{red}{e^{u}}}$$

Kom ihåg att $$$u=e^{x}$$$:

$$e^{{\color{red}{u}}} = e^{{\color{red}{e^{x}}}}$$

Alltså,

$$\int{e^{x + e^{x}} d x} = e^{e^{x}}$$

Lägg till integrationskonstanten:

$$\int{e^{x + e^{x}} d x} = e^{e^{x}}+C$$

$$$\int e^{x + e^{x}}\, dx = e^{e^{x}} + C$$$A