Intégrale de $$$e^{x + e^{x}}$$$

Déterminez $$$\int e^{x + e^{x}}\, dx$$$.

Soit $$$u=e^{x}$$$.

Alors $$$du=\left(e^{x}\right)^{\prime }dx = e^{x} dx$$$ (les étapes peuvent être vues »), et nous obtenons $$$e^{x} dx = du$$$.

Par conséquent,

$${\color{red}{\int{e^{x + e^{x}} d x}}} = {\color{red}{\int{e^{u} d u}}}$$

L'intégrale de la fonction exponentielle vaut $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$ :

$${\color{red}{\int{e^{u} d u}}} = {\color{red}{e^{u}}}$$

Rappelons que $$$u=e^{x}$$$ :

$$e^{{\color{red}{u}}} = e^{{\color{red}{e^{x}}}}$$

Par conséquent,

$$\int{e^{x + e^{x}} d x} = e^{e^{x}}$$

Ajouter la constante d'intégration :

$$\int{e^{x + e^{x}} d x} = e^{e^{x}}+C$$

$$$\int e^{x + e^{x}}\, dx = e^{e^{x}} + C$$$A