Ολοκλήρωμα του $$$e^{x + e^{x}}$$$

Βρείτε $$$\int e^{x + e^{x}}\, dx$$$.

Έστω $$$u=e^{x}$$$.

Τότε $$$du=\left(e^{x}\right)^{\prime }dx = e^{x} dx$$$ (τα βήματα παρουσιάζονται »), και έχουμε ότι $$$e^{x} dx = du$$$.

Το ολοκλήρωμα μπορεί να επαναγραφεί ως

$${\color{red}{\int{e^{x + e^{x}} d x}}} = {\color{red}{\int{e^{u} d u}}}$$

Το ολοκλήρωμα της εκθετικής συνάρτησης είναι $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$:

$${\color{red}{\int{e^{u} d u}}} = {\color{red}{e^{u}}}$$

Θυμηθείτε ότι $$$u=e^{x}$$$:

$$e^{{\color{red}{u}}} = e^{{\color{red}{e^{x}}}}$$

Επομένως,

$$\int{e^{x + e^{x}} d x} = e^{e^{x}}$$

Προσθέστε τη σταθερά ολοκλήρωσης:

$$\int{e^{x + e^{x}} d x} = e^{e^{x}}+C$$

$$$\int e^{x + e^{x}}\, dx = e^{e^{x}} + C$$$A