$$$e^{x + e^{x}}$$$の積分

$$$\int e^{x + e^{x}}\, dx$$$ を求めよ。

$$$u=e^{x}$$$ とする。

すると $$$du=\left(e^{x}\right)^{\prime }dx = e^{x} dx$$$（手順は»で確認できます）、$$$e^{x} dx = du$$$ となります。

したがって、

$${\color{red}{\int{e^{x + e^{x}} d x}}} = {\color{red}{\int{e^{u} d u}}}$$

指数関数の積分は $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$です:

$${\color{red}{\int{e^{u} d u}}} = {\color{red}{e^{u}}}$$

次のことを思い出してください $$$u=e^{x}$$$:

$$e^{{\color{red}{u}}} = e^{{\color{red}{e^{x}}}}$$

したがって、

$$\int{e^{x + e^{x}} d x} = e^{e^{x}}$$

積分定数を加える:

$$\int{e^{x + e^{x}} d x} = e^{e^{x}}+C$$

$$$\int e^{x + e^{x}}\, dx = e^{e^{x}} + C$$$A