Integral von $$$e^{\frac{x}{a}}$$$ nach $$$x$$$

Bestimme $$$\int e^{\frac{x}{a}}\, dx$$$.

Sei $$$u=\frac{x}{a}$$$.

Dann $$$du=\left(\frac{x}{a}\right)^{\prime }dx = \frac{dx}{a}$$$ (die Schritte sind » zu sehen), und es gilt $$$dx = a du$$$.

Somit,

$${\color{red}{\int{e^{\frac{x}{a}} d x}}} = {\color{red}{\int{a e^{u} d u}}}$$

Wende die Konstantenfaktorregel $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ mit $$$c=a$$$ und $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$ an:

$${\color{red}{\int{a e^{u} d u}}} = {\color{red}{a \int{e^{u} d u}}}$$

Das Integral der Exponentialfunktion lautet $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$:

$$a {\color{red}{\int{e^{u} d u}}} = a {\color{red}{e^{u}}}$$

Zur Erinnerung: $$$u=\frac{x}{a}$$$:

$$a e^{{\color{red}{u}}} = a e^{{\color{red}{\frac{x}{a}}}}$$

Daher,

$$\int{e^{\frac{x}{a}} d x} = a e^{\frac{x}{a}}$$

Fügen Sie die Integrationskonstante hinzu:

$$\int{e^{\frac{x}{a}} d x} = a e^{\frac{x}{a}}+C$$

$$$\int e^{\frac{x}{a}}\, dx = a e^{\frac{x}{a}} + C$$$A