Intégrale de $$$e^{\frac{x}{a}}$$$ par rapport à $$$x$$$

Déterminez $$$\int e^{\frac{x}{a}}\, dx$$$.

Soit $$$u=\frac{x}{a}$$$.

Alors $$$du=\left(\frac{x}{a}\right)^{\prime }dx = \frac{dx}{a}$$$ (les étapes peuvent être vues »), et nous obtenons $$$dx = a du$$$.

Ainsi,

$${\color{red}{\int{e^{\frac{x}{a}} d x}}} = {\color{red}{\int{a e^{u} d u}}}$$

Appliquez la règle du facteur constant $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ avec $$$c=a$$$ et $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$ :

$${\color{red}{\int{a e^{u} d u}}} = {\color{red}{a \int{e^{u} d u}}}$$

L'intégrale de la fonction exponentielle vaut $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$ :

$$a {\color{red}{\int{e^{u} d u}}} = a {\color{red}{e^{u}}}$$

Rappelons que $$$u=\frac{x}{a}$$$ :

$$a e^{{\color{red}{u}}} = a e^{{\color{red}{\frac{x}{a}}}}$$

Par conséquent,

$$\int{e^{\frac{x}{a}} d x} = a e^{\frac{x}{a}}$$

Ajouter la constante d'intégration :

$$\int{e^{\frac{x}{a}} d x} = a e^{\frac{x}{a}}+C$$

$$$\int e^{\frac{x}{a}}\, dx = a e^{\frac{x}{a}} + C$$$A