Integralen av $$$e^{\frac{x}{a}}$$$ med avseende på $$$x$$$

Bestäm $$$\int e^{\frac{x}{a}}\, dx$$$.

Låt $$$u=\frac{x}{a}$$$ vara.

Då $$$du=\left(\frac{x}{a}\right)^{\prime }dx = \frac{dx}{a}$$$ (stegen kan ses »), och vi har att $$$dx = a du$$$.

Integralen blir

$${\color{red}{\int{e^{\frac{x}{a}} d x}}} = {\color{red}{\int{a e^{u} d u}}}$$

Tillämpa konstantfaktorregeln $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ med $$$c=a$$$ och $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$:

$${\color{red}{\int{a e^{u} d u}}} = {\color{red}{a \int{e^{u} d u}}}$$

Integralen av den exponentiella funktionen är $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$:

$$a {\color{red}{\int{e^{u} d u}}} = a {\color{red}{e^{u}}}$$

Kom ihåg att $$$u=\frac{x}{a}$$$:

$$a e^{{\color{red}{u}}} = a e^{{\color{red}{\frac{x}{a}}}}$$

Alltså,

$$\int{e^{\frac{x}{a}} d x} = a e^{\frac{x}{a}}$$

Lägg till integrationskonstanten:

$$\int{e^{\frac{x}{a}} d x} = a e^{\frac{x}{a}}+C$$

$$$\int e^{\frac{x}{a}}\, dx = a e^{\frac{x}{a}} + C$$$A