Integrale di $$$e^{\frac{x}{a}}$$$ rispetto a $$$x$$$

Trova $$$\int e^{\frac{x}{a}}\, dx$$$.

Sia $$$u=\frac{x}{a}$$$.

Quindi $$$du=\left(\frac{x}{a}\right)^{\prime }dx = \frac{dx}{a}$$$ (i passaggi si possono vedere »), e si ha che $$$dx = a du$$$.

L'integrale diventa

$${\color{red}{\int{e^{\frac{x}{a}} d x}}} = {\color{red}{\int{a e^{u} d u}}}$$

Applica la regola del fattore costante $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ con $$$c=a$$$ e $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$:

$${\color{red}{\int{a e^{u} d u}}} = {\color{red}{a \int{e^{u} d u}}}$$

L'integrale della funzione esponenziale è $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$:

$$a {\color{red}{\int{e^{u} d u}}} = a {\color{red}{e^{u}}}$$

Ricordiamo che $$$u=\frac{x}{a}$$$:

$$a e^{{\color{red}{u}}} = a e^{{\color{red}{\frac{x}{a}}}}$$

Pertanto,

$$\int{e^{\frac{x}{a}} d x} = a e^{\frac{x}{a}}$$

Aggiungi la costante di integrazione:

$$\int{e^{\frac{x}{a}} d x} = a e^{\frac{x}{a}}+C$$

$$$\int e^{\frac{x}{a}}\, dx = a e^{\frac{x}{a}} + C$$$A