$$$e^{\frac{x}{a}}$$$ 关于$$$x$$$的积分

求$$$\int e^{\frac{x}{a}}\, dx$$$。

设$$$u=\frac{x}{a}$$$。

则$$$du=\left(\frac{x}{a}\right)^{\prime }dx = \frac{dx}{a}$$$ (步骤见»)，并有$$$dx = a du$$$。

积分变为

$${\color{red}{\int{e^{\frac{x}{a}} d x}}} = {\color{red}{\int{a e^{u} d u}}}$$

对 $$$c=a$$$ 和 $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$ 应用常数倍法则 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$：

$${\color{red}{\int{a e^{u} d u}}} = {\color{red}{a \int{e^{u} d u}}}$$

指数函数的积分为 $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$：

$$a {\color{red}{\int{e^{u} d u}}} = a {\color{red}{e^{u}}}$$

回忆一下 $$$u=\frac{x}{a}$$$:

$$a e^{{\color{red}{u}}} = a e^{{\color{red}{\frac{x}{a}}}}$$

因此，

$$\int{e^{\frac{x}{a}} d x} = a e^{\frac{x}{a}}$$

加上积分常数：

$$\int{e^{\frac{x}{a}} d x} = a e^{\frac{x}{a}}+C$$

$$$\int e^{\frac{x}{a}}\, dx = a e^{\frac{x}{a}} + C$$$A