$$$e^{\frac{x}{a}}$$$ の $$$x$$$ に関する積分

$$$\int e^{\frac{x}{a}}\, dx$$$ を求めよ。

$$$u=\frac{x}{a}$$$ とする。

すると $$$du=\left(\frac{x}{a}\right)^{\prime }dx = \frac{dx}{a}$$$（手順は»で確認できます）、$$$dx = a du$$$ となります。

この積分は次のように書き換えられる

$${\color{red}{\int{e^{\frac{x}{a}} d x}}} = {\color{red}{\int{a e^{u} d u}}}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ を、$$$c=a$$$ と $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$ に対して適用する:

$${\color{red}{\int{a e^{u} d u}}} = {\color{red}{a \int{e^{u} d u}}}$$

指数関数の積分は $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$です:

$$a {\color{red}{\int{e^{u} d u}}} = a {\color{red}{e^{u}}}$$

次のことを思い出してください $$$u=\frac{x}{a}$$$:

$$a e^{{\color{red}{u}}} = a e^{{\color{red}{\frac{x}{a}}}}$$

したがって、

$$\int{e^{\frac{x}{a}} d x} = a e^{\frac{x}{a}}$$

積分定数を加える:

$$\int{e^{\frac{x}{a}} d x} = a e^{\frac{x}{a}}+C$$

$$$\int e^{\frac{x}{a}}\, dx = a e^{\frac{x}{a}} + C$$$A