$$$x$$$ değişkenine göre $$$e^{\frac{x}{a}}$$$ fonksiyonunun integrali

Bulun: $$$\int e^{\frac{x}{a}}\, dx$$$.

$$$u=\frac{x}{a}$$$ olsun.

Böylece $$$du=\left(\frac{x}{a}\right)^{\prime }dx = \frac{dx}{a}$$$ (adımlar » görülebilir) ve $$$dx = a du$$$ elde ederiz.

O halde,

$${\color{red}{\int{e^{\frac{x}{a}} d x}}} = {\color{red}{\int{a e^{u} d u}}}$$

Sabit katsayı kuralı $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$'i $$$c=a$$$ ve $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$ ile uygula:

$${\color{red}{\int{a e^{u} d u}}} = {\color{red}{a \int{e^{u} d u}}}$$

Üstel fonksiyonun integrali $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$:

$$a {\color{red}{\int{e^{u} d u}}} = a {\color{red}{e^{u}}}$$

Hatırlayın ki $$$u=\frac{x}{a}$$$:

$$a e^{{\color{red}{u}}} = a e^{{\color{red}{\frac{x}{a}}}}$$

Dolayısıyla,

$$\int{e^{\frac{x}{a}} d x} = a e^{\frac{x}{a}}$$

İntegrasyon sabitini ekleyin:

$$\int{e^{\frac{x}{a}} d x} = a e^{\frac{x}{a}}+C$$

$$$\int e^{\frac{x}{a}}\, dx = a e^{\frac{x}{a}} + C$$$A